作业帮已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R,已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R（1）当a=0时,求函数f(x)的单调区间（2）当x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 20:55:56
已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R,已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R（1）当a=0时,求函数f(x)的单调区间（2）当x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R,
已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R
（1）当a=0时,求函数f(x)的单调区间
（2）当x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R,已知函数f(x)=x^3-2ax^2-3x,x∈R（1）当a=0时,求函数f(x)的单调区间（2）当x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax恒成立,求a的取值范围
(1)a=0时
f'(x)=2x²-3
令f'(x)＜0得-√6/2＜x＜√6/2∴f(x)的单调减区间为(-√6/2,√6/2)
令f'(x)＞0得x＜-√6/2或x＞√6/2∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,-√6/2)和(√6/2,﹢∞)
(2)∵x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax
∴x³-2ax²-3x-ax≥0
x²-2ax-3-a≥0
(x-a)²-a²-a-3≥0
令(x-a)²-a²-a-3=g(x)
a＜0时g(x)最小值g(0)≥0 -3-a≥0 a≤-3
a≥0时g(x)最小值g(a)≥0 -a²-a-3≥0 -(a²+a+3)≥0
∵a≥0∴a²+a+3＞0∴-(a²+a+3)≤0
不等式-(a²+a+3)≥0无解
∴a的取值范围为(-∞,-3]
1）a=0时f(x)=x^3-3x，对其求导f(x)'=3x^2-3
令f(x)'=3x^2-3=0, x1=1,x2=-1,
又当x∈（-1,1）时，f(x)'<0
x∈（-∞，-1），（1，+∞）时，f(x)'＞0；
所以函数f(x)在（-1,1）上单调减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增。
2）当x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax恒成立，即...
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1）a=0时f(x)=x^3-3x，对其求导f(x)'=3x^2-3
令f(x)'=3x^2-3=0, x1=1,x2=-1,
又当x∈（-1,1）时，f(x)'<0
x∈（-∞，-1），（1，+∞）时，f(x)'＞0；
所以函数f(x)在（-1,1）上单调减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增。
2）当x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax恒成立，即f(x)-ax≥0，设g（x）=x^3-2ax^2-3x-ax。
满足g（x）为单调增函数，且g（0）≥0
又g（0）=0
所以g（x）’=3x^2-4ax-3-a≥0，x∈(0,+∞)
令-3-a＞0,2a／3≤0，（根据图像判断）
则a≤-3.
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1.当a=0时，带入函数f(x)=x^3-3x,求导
f'(x)=3x^2-3
令f'(x)=0，3x^2-3=0
x1=1,x2=-1
将x1=1,x2=-1带入函数f(x)
y1=-2，y2=2
(1，-2)和（-1,2）为函数的极点
当-1
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1.当a=0时，带入函数f(x)=x^3-3x,求导
f'(x)=3x^2-3
令f'(x)=0，3x^2-3=0
x1=1,x2=-1
将x1=1,x2=-1带入函数f(x)
y1=-2，y2=2
(1，-2)和（-1,2）为函数的极点
当-1
所以函数f(x)在（-1,1）上单调减，在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增。
2。当x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax恒成立，即f(x)-ax≥0，设g（x）=x^3-2ax^2-3x-ax。
满足g(x)为单调增函数
所以g'(x)=3x^2-4ax-3-a≥0，x∈(0,+∞)
g'(x)是二次函数，开口向上的抛物线，
令-3-a≥0
则a≤-3.
所以a的取值范围为(-∞,-3]
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