作业帮若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2√2,问：直线l的斜率的取值区间为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 01:09:19
若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2√2,问：直线l的斜率的取值区间为?
若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2√2,问：直线l的斜率的取值区间为?
若圆x^2+y^2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为2√2,问：直线l的斜率的取值区间为?
将圆的方程x2＋y2－4x－4y－10＝0化成标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18,
∴圆心为P(2,2),半径为3
如图所示,设l1与l2为过原点的两条直线,且圆心P到l1及l2的距离均为 ,由于圆的半径为3 ,则与l1平等且与圆相切的直线同圆的切点就是一个到直线l1的距离为2 的点,另一侧则有两个满足条件的点,同理可以知道l2也为一条满足条件的临界直线,此时,倾斜角范围为[π/12,5π/12]
所以、、、斜率=tan倾斜角、、、、剩下自己算吧、、、
易知，圆心(2,2),半径r=3√2,由题设及数形结合可知，圆心到直线ax+by=0的距离不大于√2.即有|2a+2b|/√(a²+b²)≤√2.整理可得a²+4ab+b²≤0.易知，b≠0,否则直线斜率k不存在，∴k=-a/b.===>a=-kb.代入前面不等式得b²(k²-4k+1)≤0.===>(k-2)²≤3.===>2...
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易知，圆心(2,2),半径r=3√2,由题设及数形结合可知，圆心到直线ax+by=0的距离不大于√2.即有|2a+2b|/√(a²+b²)≤√2.整理可得a²+4ab+b²≤0.易知，b≠0,否则直线斜率k不存在，∴k=-a/b.===>a=-kb.代入前面不等式得b²(k²-4k+1)≤0.===>(k-2)²≤3.===>2-√3≤k≤2+√3.即直线斜率的取值范围是[2-√3,2+√3].
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