在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠B的三等分线交BC上的高AD于M、N,又CN的延长线交AB于E.求EM∥BN.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 21:38:08
在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠B的三等分线交BC上的高AD于M、N,又CN的延长线交AB于E.求EM∥BN.

在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠B的三等分线交BC上的高AD于M、N,又CN的延长线交AB于E.求EM∥BN.
在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠B的三等分线交BC上的高AD于M、N,又CN的延长线交AB于E.求EM∥BN.

在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,∠B的三等分线交BC上的高AD于M、N,又CN的延长线交AB于E.求EM∥BN.
   如图,作BN的延长线,交AC于F ,连接MF
易知△ABC是等腰直角三角形,BM、BN 是∠B的三等分线
∴∠ABM=∠MBN=∠NBC= 15°
∵AB= AC  AD⊥BC   
∴ BD= DC ,∠BDN = ∠ CDN =Rt∠
又∵ND=ND
∴△BND ≌△CND
∴∠NBD=∠NCD=15° ,BN =NC
∴∠ENB= 30°              
又∵在△ABF中,∠ABF =30° ∠BAF = 90°
∴∠AFB= 60°
∵在△ABF中,BM平分∠ABF,AN 平分∠BAF
∴M点是△ABF的内心
∴FM平分∠BFA
∴∠MFB= 30°
∴∠MFB= ∠ENB
∴EC∥MF 
∵∠NBD=15° ∠NDB= 90° 
∴∠MNF=∠BND = 75°
∴△MNF中,∠MFN=30° 
∴∠NMF=∠MNF= 75°
∴MF= NF 
又∵NF = EN  ( BF- BN = CE-CN)
∴EN=MF
又∵EN∥MF
∴四边形ENFM 是平行四边形   (其实是菱形)
∴EM∥BN