求5a²+2b²-4ab-12a+16的最小值

求5a²+2b²-4ab-12a+16的最小值
求5a²+2b²-4ab-12a+16的最小值

求5a²+2b²-4ab-12a+16的最小值

设5a²+2b²-4ab-12a+16＝t
→2b²-4ab+(5a²-12a+16-t)＝0.
△＝16a²-8(5a²-12a+16-t)≥0
→2a²-5a²+12a-16+t≥0
→3a²-12a+16-t≤0.
△'＝12²-12(16-t)≥0

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设5a²+2b²-4ab-12a+16＝t
→2b²-4ab+(5a²-12a+16-t)＝0.
△＝16a²-8(5a²-12a+16-t)≥0
→2a²-5a²+12a-16+t≥0
→3a²-12a+16-t≤0.
△'＝12²-12(16-t)≥0
→16-t≤12
→t≥4,
故所求最小值为：4。
另
5a²+2b²-4ab-12a+16
＝2(a²-2ab+b²)+3(a²-4a+4)+4
＝2(a-b)²+3(a-2)²+4
≥4,
∴a＝b＝2时，
所求最小值为：4。

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