请教一道不等关系证明题已知x>0,求证:(x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2.(利用单调性)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/16 19:30:46
请教一道不等关系证明题已知x>0,求证:(x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2.(利用单调性)

请教一道不等关系证明题已知x>0,求证:(x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2.(利用单调性)
请教一道不等关系证明题
已知x>0,求证:(x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2.(利用单调性)

请教一道不等关系证明题已知x>0,求证:(x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2.(利用单调性)
原式可化为证明:x+1/x + 1/(x+1/x)≥5/2
令 u=x+1/x ,由x>0,易知u≥2
且令f(u)=u+1/u取 u2>u1≥2
则 f(u2)-f(u1)=u2+1/u2-(u1+1/u1)-5/2
整理得 =(u2-u1)(1-1/u1*u2)
由u1*u2≥4 => 1-1/u1*u2≥3/4 且 u2>u1
故 f(u2)-f(u1)>0 有单调增函数定义 f(u) 为增函数
所以 f(u)=u+1/u≥2+1/2=5/2
即x+1/x + 1/(x+1/x)≥5/2 因而:(x^2+1)/x+x/(x^2+1)≥5/2

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