作业帮正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,求当M点运动到什么位置时,RtΔABM∽RtΔAMN,求x的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:23:51
正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,求当M点运动到什么位置时,RtΔABM∽RtΔAMN,求x的值
正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,求当M点运动到什么位置时,RtΔABM∽RtΔAMN,求x的值
正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,求当M点运动到什么位置时,RtΔABM∽RtΔAMN,求x的值
当Rt△ABM∽Rt△AMN时,
有AB/AM=BM/MN
得AB²/AM²=BM²/MN²
即16/(16+BM²)=BM²/[(4-BM)²+CN²]
∴BM²(16+BM²)=16[(4-BM)²+CN²]
BM=x,CN=x(4-x)/4
∴x²(16+x²)=16[(4-x)²+x²(4-x)²/16]
x²(16+x²)=(4-x)²(16+x²)
解得x=2
即M点运动到BC中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN
此时x=2
易知，当Rt⊿ABM∽Rt⊿AMN时，
只能有∠BAM=∠NAM。若不然，则会出现∠ANC=90º＞∠ADC=90º
（三角形外角大于不相邻的内角）矛盾。
延长NM，交AB的延长线于点E，
由：∠BAM=∠NAM，AM⊥NE，根据：三线合一可知，MN=ME。
∴Rt⊿BME≌Rt⊿CMN.
∴BM=CM.
∴此时，点M为B...
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易知，当Rt⊿ABM∽Rt⊿AMN时，
只能有∠BAM=∠NAM。若不然，则会出现∠ANC=90º＞∠ADC=90º
（三角形外角大于不相邻的内角）矛盾。
延长NM，交AB的延长线于点E，
由：∠BAM=∠NAM，AM⊥NE，根据：三线合一可知，MN=ME。
∴Rt⊿BME≌Rt⊿CMN.
∴BM=CM.
∴此时，点M为BC的中点。
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