[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 08:59:03
[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6

[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6
[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6

[1+2的平方+…+(n-1)的平方] 为什么等于 [(n-1)n(2n-1)]/6
n(n+1)(2n+1)/6
方法1:n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3
两边都从1到n求和
左边为所求
右边=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3
=n*(n+1)*(2*n+1)/6
或者
先取一辅助数列:记为sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1),将其配成这样:sigma(n)={1*2*(3- 0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3,又Sn+ n*(n+1)/2=sigma(n),
所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6.
方法2:数学归纳法
n=2的时候,1=(1*2*3)/6=1
如果对n-1的时候成立,则有1的平方+2的平方+3的平方+....+(n-1)的平方=((n-1)n(2n-1))/6
那么对于n的时候
1的平方+2的平方+3的平方+....+(n-1)的平方+n的平方
=((n-1)n(2n-1))/6+n*n
=n/6*(2n^2-3n+1+6n)
=n/6*(n+1)(2n+1)
=[(n+1-1)(n+1)(2(n+1)-1)]/6
所以对n的时候也成立
由以上,可以知道1的平方+2的平方+3的平方+....+(n-1)的平方=((n-1)n(2n-1))/6
方法3:待定系数法
设1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n
将n=1、2、3分别代入,解方程组可得a=1/3
b=1/2
c=1/6

这个记住就行,不必了解那么透彻