已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中有且只有一个数大于3/2

已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中有且只有一个数大于3/2
已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中有且只有一个数大于3/2

已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证a,b,c中有且只有一个数大于3/2
由两个等式可以分析：
a、b、c非0
若全为正数,则a+b+c>0矛盾
所以a、b、c必为一正两负,为方便讨论,不妨设a为正数,b、c为负数
所以只可能有一个数大于3/2
下证存在性
b+c=-a
bc=1/a
所以由韦达定理,b、c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根,若b、c有实数解,则必有
a^2-4/a>=0
所以a^3>=4
a>=4^(1/3)>3/2
命题得证