已知y(x)=x+a/x²+bx+1是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论

已知y(x)=x+a/x²+bx+1是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论
已知y(x)=x+a/x²+bx+1是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论

已知y(x)=x+a/x²+bx+1是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论
先根据函数的奇偶性求出a,b,得到解析式,再利用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性．
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因为函数f(x)=(x+a)/(x²+bx+1)
是奇函数,且定义域为[-1,1],
所以
f(0)=a=0
f(−1)=−1/(2−b)=−f(1)=−1/(2+b)
解得
a=0
b=0
所以f(x)=x/(x²+1),
f(x)在x∈[-1,1]上是增函数,下面证明：
设x1,x2是定义域内的任意两实数,且x1＜x2,
所以f(x1)−f(x2)=x1/(x1²+1)−x2/(x2²+1)=【(x1−x2)(1−x1x2)】/【(x1²+1)(x2²+1)】,
因为-1≤x1＜x2≤1,所以x1-x2＜0,1-x1•x2＞0,x1²+1＞0,x2²+1＞0,
所以f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
所以函数f(x)在[-1,1]上是增函数．
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