求函数f(x)=sinx+cosx在{-2分之π,2分之π}上的最大值和最小值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 14:36:53

求函数f(x)=sinx+cosx在{-2分之π,2分之π}上的最大值和最小值
求函数f(x)=sinx+cosx在{-2分之π,2分之π}上的最大值和最小值

求函数f(x)=sinx+cosx在{-2分之π,2分之π}上的最大值和最小值
f(x)=√2（sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)=)=√2sin(x+π/4)
解法一：x∈(-π/2,π/2)则(x+π/4)∈(-π/4,3π/4)
令Y=x+π/4,则g(Y)=√2sinY又sinY,在Y∈[-π/4,π/2]单调递增,在Y∈[π/2,3π/4]单调递减,故
f(x)max=g(Y)max=g(π/2)=√2,f(x)min=g(Y)min=g(-π/4)=-1
解法二：f'(x)=√2cos(x+π/4)=0解得x=π/4
则有f(-π/2)=-1,f(π/2)=1,f(π/4)=√2
易知f(x)max=f(π/4)=√2,f(x)min=f(-π/2)=-1

最大值=根号2，最小值=—1

sinx+cosx=根号二倍sin（x+π/4）
即最大值是根号二，最小值是负根号二