作业帮1若sinx+cosx=1 求证sinx的6次+cosx的6次=12已知p^3+q^3=2 求证p+q小于等于2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 12:56:16
1若sinx+cosx=1 求证sinx的6次+cosx的6次=12已知p^3+q^3=2 求证p+q小于等于2
1若sinx+cosx=1 求证sinx的6次+cosx的6次=1
2已知p^3+q^3=2 求证p+q小于等于2
1若sinx+cosx=1 求证sinx的6次+cosx的6次=12已知p^3+q^3=2 求证p+q小于等于2
1.将sinx+cosx=1两端同时平方 有（sinx）^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx=1 则sinxcosx=0
sinx的6次+cosx的6次=(sinx的3次方+cosx的3次方)^2-2(sinx的3次方)(cosx的3次方)==(sinx的3次方+cosx的3次方)^2=[(sinx+cosx)(sinx的平方-sinxcosx+cosx的平方)]^2=[(sinx+cosx)(sinx的平方+cosx的平方)]=1*1=1
2.假设p+q>2
若 p和q异号 -pq>0 p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)=(p+q)[(p+q)^2-pq]>2*[2^2]=8 即p^3+q^3>8 与p^3+q^3=2 矛盾
若p和q同号 由p^3+q^3=2 知p>0,q>0 p^3+q^3=(p+q)[(p+q)^2-pq]>=(p+q)[(p+q)^2-(p+q)^2 /4]=(p+q)[3(p+q)^2 /4]>2*3*2^2/4=6 即p^3+q^3>=6 与p^3+q^3=2 矛盾
因此p+q小于等于2
将sinx+cosx=1两端同时平方 有（sinx）^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx=1 则sinxcosx=0
sinx的6次+cosx的6次=(sinx的3次方+cosx的3次方)^2-2(sinx的3次方)(cosx的3次方)==(sinx的3次方+cosx的3次方)^2=[(sinx+cosx)(sinx的平方-sinxcosx+cosx的平方)]^2=[(sinx+cosx)(sinx的平方
1. 由sinx+cosx=1，(sinx)^2+(cosx)^2=1，解此方程组得到：
sinx=1，cosx=0 或者 sinx=0，cosx=1. 显然，无论是哪种情况，都有
(sinx)^6+(cosx)^6=1.
2. 反证法。
如果p+q>2，由立方和公式：
p^3+q^3
=(p+q)(p^2-pq+q^2)
=2
但...
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1. 由sinx+cosx=1，(sinx)^2+(cosx)^2=1，解此方程组得到：
sinx=1，cosx=0 或者 sinx=0，cosx=1. 显然，无论是哪种情况，都有
(sinx)^6+(cosx)^6=1.
2. 反证法。
如果p+q>2，由立方和公式：
p^3+q^3
=(p+q)(p^2-pq+q^2)
=2
但由p+q>2可知 p^2-pq+q^2<1.
另一方面 p^2-pq+q^2=(p+q)^2-3pq<1，即3pq>(p+q)^2-1，而p+q>2，所以必有
3pq>(p+q)^2-1>4-1=3，从而pq>1.
又因为 p^2+q^2>=2pq，所以 p^2-pq+q^2>=2pq-pq=pq，由此可知
p^2-pq+q^2>=pq>1，但上面已经说明 p^2-pq+q^2<1，矛盾。所以假设不成立，从而p+q<=2.
收起
1. sinx^6+cosx^6
=(sinx^3+cosx^3)^2-2(sinxcosx)^3
={(sinx+cosx)(sinx^2+cosx^2-sinxcosx)}^2-2(sinxcosx)^3
sinx+cosx=1
若(sinx+cosx)^2=1
sinx^2+cosx^2+2sinxcosx=1
sinxcosx=0
则有sinx^6+cosx^6=（1*1）^2-0=1