作业帮数列{An}中,已知A1=2,A（n+1）=（2An）/(An+1)(1)求{An}的通项公式?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 07:43:58
数列{An}中,已知A1=2,A（n+1）=（2An）/(An+1)(1)求{An}的通项公式?
数列{An}中,已知A1=2,A（n+1）=（2An）/(An+1)
(1)求{An}的通项公式?
数列{An}中,已知A1=2,A（n+1）=（2An）/(An+1)(1)求{An}的通项公式?
将等式两边倒数可得 1/A(n+1)=1/(2An)+1/2
设Bn=1/An 则2B(n+1)=Bn+1
等价于2(B(n+1)-1)=Bn-1
所以{Bn-1}为等比数列,首项为-1/2 公比为1/2
可得Bn-1=-(1/2)^n
Bn=1-(1/2)^n
所以An=1/Bn=1/(1-(1/2)^n)
化简可得An=2^n/(2^n-1)
依次代入，第一项是二，那么第二项是三分之四，第三项是七分之八，第四项是15分之16
那么可以推得公式：An=2^n/(2^n-1)
a(n+1)=(2an)/(an+1)
1/a(n+1)=(1/2)(1/an)+1/2
设数列bn=1/an
则b(n+1)=(1/2)bn+1/2
b(n+1)-1=(1/2)bn+1/2-1=(1/2)bn-(1/2)=(1/2)(bn-1)
故数列{bn-1}为等比数列
bn-1=-(1/2)*(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n
bn=1-(1/2)^n
an=1/bn=1/[1-(1/2)^n]
先两边取倒数 得1/a{n+1}=1/2a{n}+1/2
两边同时减1 得1/a{n+1}-1=1/2(1/a{n}-1)
可知数列 1/a{n}-1 为 以 -1/2 为首项 1/2 为公比的等比数列
即 1/a{n}-1 =-(1/2)^n
整理得 a{n}=(2^n-1)/2^n
A（n+1）=（2An）/(An+1)
1-A(n+1)=1-（2An）/(An+1)=(1-An)/(An+1)
1/(1-A(n+1))=(An+1)/(1-An)=((An-1)+2)/(1-An)=2/(1-An)-1
令Bn=1/(1-An)-1
B1=-2 B(n+1)=2Bn
Bn=-2^n
An=2^n/(2^n-1)
a(n+1)(an+1)=an
____________
2
我算出来就是这样
如果对的话记得给分啊