作业帮设a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1恒成立的实数λ的最大值是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 17:06:49
设a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1恒成立的实数λ的最大值是
设a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1恒成立的实数λ的最大值是
设a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1恒成立的实数λ的最大值是
因为a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1对所有正实数a,b,c都成立所以
λ ≤ (1- a^2-b^2-c^2)/√(abc) = ((a+b+c)^2 - a^2-b^2-c^2)/√(abc) = 2(ab+bc+ca)/√(abc),
=2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b)).(#)
令x=√(ab/c),y=√(bc/a),z=√(ac/b),则xy + yz + zx = a+b+c=1.而(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2≥0
则x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx,所以(x+y+z)^2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3,所以x+y+z ≥√3,所以
2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b))= 2(x+y+z)≥2√3.
当a=b=c时等号成立,2(√(ab/c) +√(bc/a) +√(ac/b))的最小值为2√3.因为(#)式对所有正实数a,b,c都成立,所以λ的最大值为2√3.
酱油的路过，，，，
根据a^2+b^2+c^2+λ√(abc)≤1，分离λ，得λ≤【1-（a^2+b^2+c^2）】/√(abc)，由均值不等式三次根号下(abc)≤(a+b+c)/3≤√（a²+b²+c²）/3，∴【1-（a^2+b^2+c^2）】最小值为2/3，√(abc)最大值为√3/9，且都在a=b=c时取到，所以λ最大值为2√3