已知双曲线的标准方程,且它的渐近线方程y=正负三分之根号三x,左焦点为F,过点A（a,0）B（0,b）的直线为L,原点到直线的距离为二分之根号三.1) 求双曲线方程2）已知直线y=x+m交双曲线于不同的

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 22:58:11

已知双曲线的标准方程,且它的渐近线方程y=正负三分之根号三x,左焦点为F,过点A（a,0）B（0,b）的直线为L,原点到直线的距离为二分之根号三.1) 求双曲线方程2）已知直线y=x+m交双曲线于不同的
已知双曲线的标准方程,且它的渐近线方程y=正负三分之根号三x,左焦点为F,过点A（a,0）B（0,b）的直线为L,原点到直线的距离为二分之根号三.
1) 求双曲线方程
2）已知直线y=x+m交双曲线于不同的两点C,D,问是否存在实数m,
使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F? 若存在,求m.不存在,说理由.

已知双曲线的标准方程,且它的渐近线方程y=正负三分之根号三x,左焦点为F,过点A（a,0）B（0,b）的直线为L,原点到直线的距离为二分之根号三.1) 求双曲线方程2）已知直线y=x+m交双曲线于不同的
标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1吗?
渐近线方程y=±bx/a=±√3x/3,
b/a=√3/3,
b=√3a/3,
直线方程为：x/a+y/b=1,y=-bx/a+b,y=-√3x/3+b,√3x/3+y-b=0,
根据点线距离公式,原点至直线距离d=|-b|/√（1/3+1)=√3b/2,
d=√3/2=√3b/2,
b=1,
a=√3,
∴双曲线方程为：x^2/3-y^2=1.
2、若以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F,
则F在圆上,〈CFD=90°,（半圆上圆周角为直角）,
向量CF⊥向量CD,
向量CF·CD=0,
设C（x1,y1),D(x2,y2),
半焦距c=√（a^2+b^2)=2,
左焦点F（-2,0）,
向量CF=（x1+2,y1),DF=(x2+2,y2),
向量CF·CD=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=0,(1)
y=x+m代入双曲线方程,
x^2/3-(x+m)^2=1,
2x^2+6mx+3m^2+3=0,
根据韦达定理,
x1+x2=-3m,
x1x2=(3m^2+3)/2,
y1=x1+m,
y2=x2+m,
y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m^2,
y1y2=(3m^2+3)/2-3m^2+m^2
由（1）式得：
(3m^2+3)/2-2*3m+4+(3m^2+3)/2+m*(-3m)+m^2=0,
m^2-6m+7=0,
m=3±√2,
故m存在,为3±√2,使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F.