作业帮已知点A（1,0),B(3,2),动点P满足︱PB︱=根号2︱PA︱ 1.求动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?2 直线2X+y-1= 0与点P的轨迹交于两点A,B,求线段AB长?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 13:49:13
已知点A（1,0),B(3,2),动点P满足︱PB︱=根号2︱PA︱ 1.求动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?2 直线2X+y-1= 0与点P的轨迹交于两点A,B,求线段AB长?
已知点A（1,0),B(3,2),动点P满足︱PB︱=根号2︱PA︱ 1.求动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?
2 直线2X+y-1= 0与点P的轨迹交于两点A,B,求线段AB长?
已知点A（1,0),B(3,2),动点P满足︱PB︱=根号2︱PA︱ 1.求动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?2 直线2X+y-1= 0与点P的轨迹交于两点A,B,求线段AB长?
设点,表达方程,化解得：(x+1)^2+(y+2)^2=16
则图形为以（－1,－2）为圆心以4为半径的圆.
将直线画出,过圆心作已知直线的垂线,计算圆心到直线的距离为√5,再由勾股定理算得弦长为2√11
第一个问题：
设点P的坐标为（x，y），则：
｜PA｜＝√［（x－1）^2＋y^2］、｜PB｜＝√［（x－3）^2＋（y－2）^2］。
依题意，有：｜PA｜＝√2｜PB｜，∴｜PA｜^2＝2｜PB｜^2，
∴（x－1）^2＋y^2＝2（x－3）^2＋2（y－2）^2，
∴x^2－2x＋1＋y^2＝2x^2－12x＋18＋2y^2－8y＋8，
∴x^2...
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第一个问题：
设点P的坐标为（x，y），则：
｜PA｜＝√［（x－1）^2＋y^2］、｜PB｜＝√［（x－3）^2＋（y－2）^2］。
依题意，有：｜PA｜＝√2｜PB｜，∴｜PA｜^2＝2｜PB｜^2，
∴（x－1）^2＋y^2＝2（x－3）^2＋2（y－2）^2，
∴x^2－2x＋1＋y^2＝2x^2－12x＋18＋2y^2－8y＋8，
∴x^2－14x＋y^2－8y＋25＝0，∴（x－7）^2＋（y－4）^2＝40。
∴动点P的轨迹方程是圆（x－7）^2＋（y－4）^2＝40。
第二个问题：
设圆（x－7）^2＋（y－4）^2＝40的圆心为C（7，4），令AB的中点为D，则：CD⊥AB。
由点到直线的距离公式，有：｜CD｜＝｜2×7－4－1｜/√（4＋1）＝9/√5。
显然有：｜AC｜＝√40。
∴由勾股定理，有：｜AD｜^2＋｜CD｜^2＝｜AC｜^2，
∴｜AD｜^2＝40－81/5＝119/5，∴｜AD｜＝√（119/5）＝√590/5，
∴｜AB｜＝2｜AD｜＝2√590/5。
∴线段AB的长是 2√590/5。
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