作业帮数列an前n项和为Sn,a1＝1,已知对于所有正整数n都有Sn＝n（a1＋an）／2,证明an为等差数列.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 15:31:48
数列an前n项和为Sn,a1＝1,已知对于所有正整数n都有Sn＝n（a1＋an）／2,证明an为等差数列.
数列an前n项和为Sn,a1＝1,已知对于所有正整数n都有Sn＝n（a1＋an）／2,证明an为等差数列.
数列an前n项和为Sn,a1＝1,已知对于所有正整数n都有Sn＝n（a1＋an）／2,证明an为等差数列.
证明：∵S[n]=n(a[1]＋a[n])/2
∴2S[n]=na[1]＋na[n]
∵2S[n+1]=(n+1)a[1]＋(n+1)a[n+1]
∴2S[n+1]-2S[n]=a[1]+(n+1)a[n+1]-na[n]
2a[n+1]=a[1]+(n+1)a[n+1]-na[n]
(n-1)a[n+1]=na[n]-a[1]
即：a[n+1]/n-a[n]/(n-1)=a[1]*{1/n-1/(n-1)}
有：a[n]/n-a[n-1]/(n-2)=a[1]*{1/(n-1)-1/(n-2)}
.
a[3]/2-a[2]/1=a[1]*{1/2-1/1}
将上述各项叠加,得：
a[n+1]/n-a[2]=a[1](1/n-1)
∴a[n+1]=na[2]+a[1]-na[1]
∴a[n]=(n-1)a[2]+a[1]-(n-1)a[1]
∴a[n+1]-a[n]=a[2]-a[1]
∴数列{a[n]}是等差数列
【其实a[1]是何值,与证明无关】
一楼最后一步除以(n-2),就是假定n≠2,可以这样假定吗？
Sn＝n（a1＋an）／2
Sn-1＝(n-1)（a1＋an-1）／2
2an=n（a1＋an）-(n-1)（a1＋an-1）
=a1+nan-(n-1)an-1
(n-2)an=(n-1)an-1-1
(n-3)an-1=(n-2)an-2-1
(n-2)an=(2n-4)an-1-(n-2)an-2
(n-2)an-(n-2)an-1=(n-2)an-1-(n-2)an-2
an-an-1=an-1-an-2
an为等差数列