欧几里德 勾股定理 有图更好啦~\(≧▽≦)/~

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这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的.路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式. 　　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）.
证法1
　　作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠EGF = ∠BED, 　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, 　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, 　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 　　又∵ AB = BE = EG = GA = c, 　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° 　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠ABC = ∠EBD. 　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　　即 ∠CBD= 90° 　　又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, 　　BC = BD = a. 　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 　　设多边形GHCBE的面积为S,则 　　A^2+B^2=C^2. 　　
证法2
　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 　　过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点 　　F作FN⊥PQ,垂足为N. 　　∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC, 　　∴ ∠MPC = 90°, 　　∵ BM⊥PQ, 　　∴ ∠BMP = 90°, 　　∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°. 　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°, 　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, 　　∴ ∠QBM = ∠ABC, 　　又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, 　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2.
证法3
　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, 　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, 　　∴FI=a, 　　∴G,I,J在同一直线上, 　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c, 　　∠CJB = ∠CFD = 90°, 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 　　同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE 　　∴∠ABG = ∠BCJ, 　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, 　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°, 　　∵∠ABC= 90°, 　　∴G,B,I,J在同一直线上, 　　a^2+b^2=c^2.
证法4
　　作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 　　BF、CD. 过C作CL⊥DE, 　　交AB于点M,交DE于点L. 　　∵ AF = AC,AB = AD, 　　∠FAB = ∠GAD, 　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, 　　∵ ΔFAB的面积等于, 　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　　的面积的一半, 　　∴ 矩形ADLM的面积 =. 　　同理可证,矩形MLEB的面积 =. 　　∵ 正方形ADEB的面积 　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 　　∴ 即a^2;+b^2;=c^2;
证法5(欧几里得的证法)
　　《几何原本》中的证明 　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立. 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等. 　　在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下： 　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半. 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积. 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）. 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形. 　　其证明如下： 　　设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB. 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH. 画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L. 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA. ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H. ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC. 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC. 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD. 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC. 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2. 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2. 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC .由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2. 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）
　　如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,通过证明三角形相似则有射影定理如下： 　　1）（BD）^2;=AD·DC, （2）（AB）^2;=AD·AC , （3）（BC）^2;=CD·AC . 　　由公式（2）+（3）得： 　　（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;, 图1
即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2,这就是勾股定理的结论.
证法七（赵爽弦图）
　　在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为（b-a）2.于是便可得如下的式子： 　　4×（ab/2）+（b-a）^2;=c^2;　化简后便可得： 　　a^2;+b^2;=c^2; 　　亦即： 　　c=(a^2;+b^2;)1/2 　　勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用.正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称. 　　我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理.在公元前1000多年,据记载,商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五.既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五.两矩共长二十有五,是谓积矩.”因此,勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日. 　　在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”.还有的国家称勾股定理为“平方定理”. 　　在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 　　前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）. 　　1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页. 　　2. 陈良佐： 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页. 　　3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月, 227-234页. 　　4. 李继闵： 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 . 　　5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8（达芬奇的证法）