求一道反函数问题 y=log2 (1+x)/ (1-x)的反函数的单调性

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 22:13:29
求一道反函数问题 y=log2 (1+x)/ (1-x)的反函数的单调性

求一道反函数问题 y=log2 (1+x)/ (1-x)的反函数的单调性
求一道反函数问题 y=log2 (1+x)/ (1-x)的反函数的单调性

求一道反函数问题 y=log2 (1+x)/ (1-x)的反函数的单调性
y的反函数你已经问过了
在这里
反函数是
y=(2^x-1)/(2^x+1),x属于R
y=(2^x+1-2)/(2^x+1)
=1-2/(2^x+1)
因为2^x+1〉0且递增
所以2/(2^x+1)是减函数
则-2/(2^x+1)是增函数
所以y=1-2/(2^x+1)是增函数
即y=log2 (1+x)/ (1-x)的反函数是增函数

∵(1+x)/ (1-x)>0
∴原函数定义域为x<-1
原函数的单调性与其反函数相反,只需证原函数单调性
所以设x1<x2<-1
f(x1)-f(x2)
=log2[(x1+1)(1-x2))/(1-x1)(1+x2))]
∴[(x1+1)(1-x2))/(1-x1)(1+x2))]>1
log2[(x1+1)(1-x2))/(1-x1)(...

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∵(1+x)/ (1-x)>0
∴原函数定义域为x<-1
原函数的单调性与其反函数相反,只需证原函数单调性
所以设x1<x2<-1
f(x1)-f(x2)
=log2[(x1+1)(1-x2))/(1-x1)(1+x2))]
∴[(x1+1)(1-x2))/(1-x1)(1+x2))]>1
log2[(x1+1)(1-x2))/(1-x1)(1+x2))]>0
f(x1)>f(x2)
原函数在定义域范围内单调减
故此反函数在定义域范围内单调增

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