函数y=(e^x-e^-x)/2的反函数的单调区间和单调性.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/20 12:42:10

函数y=(e^x-e^-x)/2的反函数的单调区间和单调性.
函数y=(e^x-e^-x)/2的反函数的单调区间和单调性.

函数y=(e^x-e^-x)/2的反函数的单调区间和单调性.
由于e^x和-e^(-x)都是增函数.
所以,y=(e^x-e^-x)/2是增函数.
由反函数和单调函数的定义可知,y=(e^x-e^-x)/2的反函数也单调递增.

下面求反函数：
y=(e^x-e^-x)/2
e^x-e^-x=2y (1)
(1)^2得：e^(2x)-e^(-2x)-2=4y^2
e^(2x)+e^(-2x)+2=4y^2+4
(e^x+e^-x)^2=4y^2+4
因为e^x+e^-x>0,所以e^x+e^-x=2√(y^2+1) (2)
(1)+(2)得：2e^x=2y+2√(y^2+1)
e^x=y+√(y^2+1)
x=ln[y+√(y^2+1)]
所以,所求反函数为：y=ln[x+√(x^2+1)].

把x换为y,得x=(e^y-e^-y),设e^y=m,把x当成已知量，解方程得出e^y=x/2+根号下（1+x^2/4),再两边取对数表示成y=……，即为反函数x>0时显然单调增，x<0时你就把x/2变成-根号下x^2/4，再把x^2/4设成变量k,剩下的就成求根号下（m+1)-根号下m单调性了

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