作业帮数列,超难设数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记bn=(4+an)/(1-an)(n∈N+),(1) 求数列｛an｝与数列｛bn｝的通项公式(2) 设数列｛bn｝的前n项和为Rn,是否存在正整数k,使得Rn≥4k
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 12:26:03
数列,超难设数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记bn=(4+an)/(1-an)(n∈N+),(1) 求数列｛an｝与数列｛bn｝的通项公式(2) 设数列｛bn｝的前n项和为Rn,是否存在正整数k,使得Rn≥4k
数列,超难
设数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记bn=(4+an)/(1-an)
(n∈N+),
(1) 求数列｛an｝与数列｛bn｝的通项公式
(2) 设数列｛bn｝的前n项和为Rn,是否存在正整数k,使得Rn≥4k成立?若存在,找出一个正整数k,若不存在,请说明理由
(3) 记Cn=b(2n)-b(2n-1),设cn的前n项和为Tn,求证：对任意正整数n都有Tn
数列,超难设数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记bn=(4+an)/(1-an)(n∈N+),(1) 求数列｛an｝与数列｛bn｝的通项公式(2) 设数列｛bn｝的前n项和为Rn,是否存在正整数k,使得Rn≥4k
(1)an=5Sn+1
a(n-1)=5S(n-1)+1
所以an-a(n-1)=5an,an=-a(n-1)/4,所以{an}是等比数列
a1=5*a1+1,a1=-1/4
所以an=(-1/4)^n
bn=[4+(-1/4)^n]/[1-(-1/4)^n]
(2)存在,取k=1.
bn>0恒成立
取b1=3,b2=13/3,当n>1时,Rn>4是肯定成立的.
(3)cn=10/16^n*1/[(1-1/16^n)(1+4/16^n)]
观察分母因为16^(2n)>16^n,所以可以变形出
(1-1/16^n)(1+4/16^n)>(1-1/16^n)[1-1/16^(n-1)]
所以cn<2/3*{1/[1-1/16^(n-1)]-1/(1-1/16^n)}－－－§1
如果右边的式子§1求和,前后就抵消了
所以,从第二项开始放缩,保留c1
Tn
§2的极限是c1+2/3*(16/15-1)=62/45<3/2
所以Tn
an=5sn+1
a(n-1)=5s(n-1)+1
所以an-a(n-1)=5an
an=-a(n-1)/4
a1=5*a1+1
a1=-1/4
所以an=(-1/4)^n
(1)bn=(4+an)/(1-an)=[4+(-1/4)^n]/[1-(-1/4)^n]
=[4*4^n+(-1)^n]/[4^n-(-1)^n]
（2）cn=b2n-b(2n-1)
抱歉啊,帮不上啊
第一问不用说了吧 楼上已经答了
（2） 由（1）知 bn=4+ 5/[（-4）^n -1] ≥+ 1/ (-4)^n
∴Rn≥右边的前n项和=[3+1/(-4)^n]*4
然后自己取个值看看 取n=1
方法应该没问题 楼主看一下我有没有计错数 本题考察的应该是放缩法吧
有问题HI我...
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第一问不用说了吧 楼上已经答了
（2） 由（1）知 bn=4+ 5/[（-4）^n -1] ≥+ 1/ (-4)^n
∴Rn≥右边的前n项和=[3+1/(-4)^n]*4
然后自己取个值看看 取n=1
方法应该没问题 楼主看一下我有没有计错数 本题考察的应该是放缩法吧
有问题HI我
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