如图所示,在三角形ABC中,AB等于AC,角BAC等于120度,D是BC的中点,DE垂直于AB于E,求证:EB等于3EA

如图所示,在三角形ABC中,AB等于AC,角BAC等于120度,D是BC的中点,DE垂直于AB于E,求证:EB等于3EA
如图所示,在三角形ABC中,AB等于AC,角BAC等于120度,D是BC的中点,DE垂直于AB于E,求证:EB等于3EA

如图所示,在三角形ABC中,AB等于AC,角BAC等于120度,D是BC的中点,DE垂直于AB于E,求证:EB等于3EA
连接AD
因D是BC中点,即BD=CD,AB=AC,AD=AD
则三角形ADB全等ADC
则角ADB=角ADC=180度/2=90度,角BAD=角CAD=120度/2=60度
角B=180度-角BAD-角ADB=30度
因DE垂直AB,即角BED＝角AED＝90度
则AD=2AE,AB=2AD
又EB=AB-AE=2AD-AE=4AE-AE=3AE
所以EB=3AE

连接AF，（1分）
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），（2分）
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°...

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连接AF，（1分）
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，（1分）
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），（2分）
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°，（1分）
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）
∴BF=2CF（等量代换）．
∵直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴CF＝2EF
∴BF=4EF

收起

连接AD，∵△ABC为等腰三角形∴AD为BC中垂线，即△ABD为直角三角形
∵∠B=30°∴BE/BD=√3/2，同理AB/BD=2/√3
∴BE/AB=3/4，即BE/AE=3