作业帮费马点到三角形顶点的平方和三角形ABC内部一点P请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!（已知三角形三边长为a,b,c）那个点可能不是费马点，反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!lirestreamyy 注意我给的条件，不
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:32:04
费马点到三角形顶点的平方和三角形ABC内部一点P请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!（已知三角形三边长为a,b,c）那个点可能不是费马点，反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!lirestreamyy 注意我给的条件，不
费马点到三角形顶点的平方和
三角形ABC内部一点P
请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!
（已知三角形三边长为a,b,c）
那个点可能不是费马点，反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!
lirestreamyy 注意我给的条件，不是坐标，是边长！
费马点到三角形顶点的平方和三角形ABC内部一点P请求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!（已知三角形三边长为a,b,c）那个点可能不是费马点，反正要求:PA^2+PB^2+PC^2的最小值!lirestreamyy 注意我给的条件，不
点P到三角形顶点平方和的最小,
所以,点P是三角形的重心.
证明我就不证了,利用坐标法,可以证明.
下面用a、b、c表示这个平方和：
重心到顶点的距离=中线的2/3,因此,只需算出中线长度即可.
以求BC边上的中线AD为例
在三角形ABC中,由余弦定理,cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
在三角形ABD中,再利用余弦定理
AD^2=c^2+(a/2)^2-2c*(a/2)cosB=(b^2+c^2)/2-a^2/4
所以,PA^2=(2/3AD)^2=4/9AD^2=(2b^2+2c^2-a^2)/9
同理,PB^2=(2a^2+2c^2-b^2)/9
PC^2=(2a^2+2b^2-c^2)/9
PA^2+PB^2+PC^2=(a^2+b^2+c^2)/3
点是三角形ABC的重心，即是三边中线的交点，重心到三边距离的平方和最小
证明：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为（x，y），则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^...
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点是三角形ABC的重心，即是三边中线的交点，重心到三边距离的平方和最小
证明：
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
平面上任意一点为（x，y），则该点到三顶点距离平方和为：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值
最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
收起
P为三角形外接圆圆心,值自己算吧！