设a,b都是实数,且a+b=1,求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/20 07:46:15
设a,b都是实数,且a+b=1,求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值

设a,b都是实数,且a+b=1,求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值
设a,b都是实数,且a+b=1,求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值

设a,b都是实数,且a+b=1,求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值=25/4

设a,b都是实数,且a+b=1,求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值
a=b时,最小
a=b=1/2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2=25/2

我来给过程。
由a^2+b^2≥2ab,得
(a+b)^2≥4ab
∵a+b=1
∴ab≤1/4
-ab≥-1/4,-2ab≥-1/2
a^2b^2≤1/16,1/(a^2b^2)≥16

(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+2+1/a^2+b^2+2+1/b^2
=(a+b)^2-2ab+((a+b)...

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我来给过程。
由a^2+b^2≥2ab,得
(a+b)^2≥4ab
∵a+b=1
∴ab≤1/4
-ab≥-1/4,-2ab≥-1/2
a^2b^2≤1/16,1/(a^2b^2)≥16

(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+2+1/a^2+b^2+2+1/b^2
=(a+b)^2-2ab+((a+b)^2-2ab)/(a^2b^2)+4
=5-2ab+(1-2ab)/(a^2b^2)
≥5-1/2+(1-1/2)*16
=25/2
当a=b=1/2时,等号成立。

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