作业帮如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC （图中点M没标）要做辅助线!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 07:00:27
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC （图中点M没标）要做辅助线!
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC （图中点M没标）要做辅助线!
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC （图中点M没标）要做辅助线!
方法一：设点A、B、C、D的坐标分别为A(0,0),B(t,0),C(0,t),D(a,b)(a≠0,a=0时AD与AB、AC与AE重合,可知所求命题成立),因为AD=AE且互相垂直,所以E点坐标是E(-b,a).故直线DE方程为y=(b-a)/(a+b) X+(a²+b²)/a+b,直线BE的方程是y=-a/(b+t) X+at/(b+t).
因为EM=BM,设M点坐标是M(w,z),即联立以上两个方程得知点M坐标求得直线AM的方程是y=-(t-b)/a X.直线DC的方程是y=(b-t)/a X+t,所以AM与DC垂直.
方法二：很明显,∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝90°－∠CAD＝∠DAE－∠CAD＝∠CAE.
∵向量AM＝向量AB＋向量BM, 向量AM＝向量AE＋向量EM＝向量AE－向量ME,
∴2向量AM＝向量AB＋向量AE＋（向量BM－向量ME）
∵M是BE的中点,∴向量BE＝向量ME,∴2向量AM＝向量AB＋向量AE······①
而向量CD＝向量AC－向量AD······②
①②相乘,得：
2向量AM·向量CD＝向量AB·向量AC－向量AB·向量AD＋向量AE·向量AC－向量AE·向量AD,
∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴向量AB·向量AC＝0,向量AE·向量AD＝0,
∴2向量AM·向量CD＝向量AE·向量AC－向量AB·向量AD
＝｜向量AE｜·｜向量AC｜cos∠CAE－｜向量AB｜·｜向量AD｜cos∠BAD
∵AB＝AC,AD＝AE,∴｜向量AB｜＝｜向量AC｜,｜向量AD｜＝｜向量AE｜,
又∠BAD＝∠CAE,∴2向量AM·向量CD＝0,∴向量AM与向量CD垂直,即：AM⊥CD.
方法三：
方法四：