作业帮已知椭圆Q：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1（-1,0）F2（1,0）,P为椭圆上任意一点且cos角F1PF2的最小值为1/3,（1）求椭圆方程.（2）动圆x^2+y^2=t^2(根2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 10:06:36
已知椭圆Q：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1（-1,0）F2（1,0）,P为椭圆上任意一点且cos角F1PF2的最小值为1/3,（1）求椭圆方程.（2）动圆x^2+y^2=t^2(根2
已知椭圆Q：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1（-1,0）F2（1,0）,P为椭圆上任意一点
且cos角F1PF2的最小值为1/3,（1）求椭圆方程.（2）动圆x^2+y^2=t^2(根2
已知椭圆Q：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1（-1,0）F2（1,0）,P为椭圆上任意一点且cos角F1PF2的最小值为1/3,（1）求椭圆方程.（2）动圆x^2+y^2=t^2(根2
∵∠F1PF2越大,cos∠F1PF2越小
∴当P在上顶点或下顶点时,∠F1PF2最大
cos∠F1PF2最小
此时PF1=PF2=a
∴cos∠F1PF2=（a^2+a^2-4c^2)/(2a^2)=1/3
(2a^2-4)/(2a^2)=1/3
a^2=3
b^2=2
椭圆方程x^2/3+y^2/2=1
(2)
设矩形ABCD与x轴交点为F,与y轴交点为E,A(x0,y0)在第一象限（方便计算）
∵对称性
∴矩形ABCD面积=4矩形AEOF面积
矩形AEOF面积=x0y0
x0^2+y0^2=t^2
x0^2/3+y0^2/2=1
联立解得
x0^2=3t^2-6
x0=√(3t^2-6)
y0^2=6-2t^2
y0=√(6-2t^2)
代入矩形AEOF面积=x0y0
=√(3t^2-6)*√(6-2t^2)
=√(-6t^4+30t^2-36)
-6t^4+30t^2-36对称轴是t^2=5/2
∵√2<t<√3
∴2<t^2<3
对称轴是t^2=5/2在定义域内
∴t^2=5/2时有最大值
t=√10/2
矩形AEOF面积最大值=√(-6*25/4+30*5/2-36)=√6/2
∴矩形ABCD面积最大值=4*√6/2=2√6