作业帮对于一个二阶常系数非齐次微分方程 如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如：y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 11:25:14
对于一个二阶常系数非齐次微分方程 如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如：y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何
对于一个二阶常系数非齐次微分方程 如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边
对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如：y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何猜测它的特解?例如：y"+3y'+2y=25+x(e^-x) 猜测它的特解为y*=A+x(K0+K1x)(e^-x) 其中A K0 K1为常数,因为特征方程的一个解为-1 所以特解方程里多了一个x,可在y"-2y'+y=(e^x)cosx中,特征方程的解为两个1,可为什么它的特解方程还是y*=(e^x)(Acosx+Bsinx) 而不用乘以x^2呢?
对于一个二阶常系数非齐次微分方程 如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如：y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何
e^x*cos(x)对应的特征根是x^2-x+1/2=0的根.
这个是因为有欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).当然你设解为y*=Ae^(x(1+i))+Be^(x(1-i))可以按照齐次方程的特解设的方法来理解.因为那个欧拉公式,就可以将解设为 y*=(e^x)(Acosx+Bsinx),从而避免虚数.
描述的不是很好.
凭感觉了~猜特解相当于把猜出的y*这个格式放到左边运算，再和右边 比较系数 。观察一下，什么样的 格式 可以 求导 得到右边的 相应 项。第一个方程要产生x(e^-x)项，在二阶导中猜出x(K0+K1x)(e^-x)，而第二个方程，(e^x)(Acosx+Bsinx)可以（可能）产生(e^x)cosx，而乘上x，怎么比较？？
因为特征方程的一个解为-1 所以特解方程里多了一个x
这...
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凭感觉了~猜特解相当于把猜出的y*这个格式放到左边运算，再和右边 比较系数 。观察一下，什么样的 格式 可以 求导 得到右边的 相应 项。第一个方程要产生x(e^-x)项，在二阶导中猜出x(K0+K1x)(e^-x)，而第二个方程，(e^x)(Acosx+Bsinx)可以（可能）产生(e^x)cosx，而乘上x，怎么比较？？
因为特征方程的一个解为-1 所以特解方程里多了一个x
这句话没道理！！！
收起
你要搞清楚的是它为什么要乘x^k吗，那是因为k是特征方程F（λ）=0的根α+iβ的重数，你这里的α指的是1，β也是1，根也就是1+i不是特征方程的根，所以不用乘 x^k.