作业帮急求“琴生不等式”证明如何用“凹函数”推出“[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2] ”
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:47:44
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急求“琴生不等式”证明如何用“凹函数”推出“[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2] ”
急求“琴生不等式”证明
如何用“凹函数”推出“[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2] ”
急求“琴生不等式”证明如何用“凹函数”推出“[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2] ”
你先画个示意图,在凹函数曲线上左右随便取两点(x1,fx1),(x2,fx2),两点连线取线段中点,y值为
y=[f(x1)+f(x2)]/2,而在这两点之间的函数曲线不是位于直线下方吗,在点x=(x1+x2)/2处的函数值f[(x1+x2)/2]明显比前面的y值小啊.
我说清楚了没?
首先 凹函数的定义是 若对任意x1x2属于(a,b)满足[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2]则称这个函数为凹函数 定义是不需要证明的
当然你可能提出需要证明的是 若f''(x)>0则f(x)是凹函数 满足[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2]
这个可以证明
(1)假设存在 x1
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首先 凹函数的定义是 若对任意x1x2属于(a,b)满足[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2]则称这个函数为凹函数 定义是不需要证明的
当然你可能提出需要证明的是 若f''(x)>0则f(x)是凹函数 满足[f（x1）+f（x2）]/2>f[(x1+x2)/2]
这个可以证明
(1)假设存在 x1
根据拉格朗日中值定理 在(x1,x3),(x3,x2)每个区间上至少有一个点a1,a2使得f'(a1)=Kl(直线L的斜率) f'(a2)=Kl 所以f'(a1)=f'(a2)由f''(x)>0得 f'(x)单调递增 所以 f'(a1)
综上所述 若f''(x)>0则f(x)是凹函数
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