初等数论小问题给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 13:23:45

初等数论小问题给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2
初等数论小问题给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2
给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2

初等数论小问题给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2给下证明 x,y 互素 x+y,x-y 的最大公因数为1或2
1.已知(x,y)=1不能同为偶,故只能1奇一偶或同为奇.
2.设d=（x+y,x-y）,则d|x+y, 且 d|x-y. d|2x, d|2y
3.若d不是1或2 ,则 (x,y)不为1,与已知矛盾.得证

不妨记为(x+y,x-y)=d，则d|2x且d|2y.因x,y 互素，固 (x,y)=1，所以必然有：
d|2.那么d=1或d=2。显然这两个结果都可能出现，当x，y奇偶性相同时d=2，反之d=1。

设（x+y，x-y）=n>2，则n|（（x+y）+（x-y））即n|2x，n|（（x+y）-（x-y））即n|2y。若n为奇数，则x，y有公因数n，与x，y互素矛盾；若n为偶数，则x，y有公因数n/2>1也与x，y互素矛盾。所以x+y,x-y 的最大公因数n<=2，当x，y同奇时n=2；当x，y奇偶性相异时n=1。得证...

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