四边形ABCD是平行四边形,点E在BA边的延长线上,CE交AD于点F,角ACE=角D,若AC=6,CE=8,AD=9,求BE的长?如题,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 20:14:22

四边形ABCD是平行四边形,点E在BA边的延长线上,CE交AD于点F,角ACE=角D,若AC=6,CE=8,AD=9,求BE的长?如题,
四边形ABCD是平行四边形,点E在BA边的延长线上,CE交AD于点F,角ACE=角D,若AC=6,CE=8,AD=9,求BE的长?
如题,

四边形ABCD是平行四边形,点E在BA边的延长线上,CE交AD于点F,角ACE=角D,若AC=6,CE=8,AD=9,求BE的长?如题,
提供一个思路：
现在把把这些角和边的所有关系归纳到一个大三角形中
作AH‖CE交CD于H,这样要求的BE就转化为求HD,然后下面一系列的关系全在大△ACD中实现.
设DH=x,CH=y.由已知：角D=角ACE=角CAH.根据余弦定理：
在△AHD中：cosD=(AD²+x²-AH²)/（2·AD·x）
在△ACD中：cosD=(AD²+（x+y）²-AC²)/（2·AD·（x+y））
在△ACH中：cosCAH=cosD=(AC²+AH²-y²)/（2·AC·AH）
所以三个值都相等.两两联立方程组解出来.就可以求出x即为BE的长

∵四边形ABCD是平行四边形且点E在边BA的延长线上，
∴DC∥BE。
∴∠D = ∠FAE。
而∠D=∠ECA，
∴∠FAE = ∠ECA。
在△EFA 和 △EAC 中，
∵∠E = ∠E，∠FAE = ∠ECA（已证），
∴△EFA ∽ △EAC 。
∴FA / AC = EA / EC

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∵四边形ABCD是平行四边形且点E在边BA的延长线上，
∴DC∥BE。
∴∠D = ∠FAE。
而∠D=∠ECA，
∴∠FAE = ∠ECA。
在△EFA 和 △EAC 中，
∵∠E = ∠E，∠FAE = ∠ECA（已证），
∴△EFA ∽ △EAC 。
∴FA / AC = EA / EC
即：FA / 6 = EA / 8
∴FA / EA = 6 / 8 = 3 / 4
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴FA∥BC。
∴BC / BE = FA / EA = 3 / 4
即：9/BE = FA / EA = 3 / 4。
∴BE=12
您关键注意这一步：由FA∥BC 推出 BC / BE = FA / EA
如果说麻烦点儿，就是由FA∥BC得△EFA ∽ △ECB，∴BC/BE = FA / EA。

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