设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 18:30:50
设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明

设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明
设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明

设函数f(x)=x+a/(x+1),x∈[0,+∞) (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值 (2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明
1)当a=2时函数为f(x)=x+2/(x+1),设0《x10函数单调递减易知函数在x=根号2-1处取得最小值f(根号2-1)=2根号2-1
2)单调递增.当0<a<1时设0《x11,x2+1>1故(x1+1)(x2+1)>1所以1-a/(x1+1)(x2+1)>o即f(x1)-f(x2)<0故函数单调递增.

(1)
f(x)+1=(x+1)+a/(x+1)
因为x≥0,a>0,所以可以利用均值不等式
(x+1)+a/(x+1)≥2×根号下[(x+1)·a/(x+1)]=2根号a=2根号2
即f(x)+1≥2根号2
f(x)≥2根号2-1
(2)
根据函数单调性的定义
在[0,+∞)中任取x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1+a...

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(1)
f(x)+1=(x+1)+a/(x+1)
因为x≥0,a>0,所以可以利用均值不等式
(x+1)+a/(x+1)≥2×根号下[(x+1)·a/(x+1)]=2根号a=2根号2
即f(x)+1≥2根号2
f(x)≥2根号2-1
(2)
根据函数单调性的定义
在[0,+∞)中任取x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1+a/(x1+1)-[x2+a/(x2+1)]
=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]
因为(x1+1)(x2+1)>1;0所以a/(x1+1)(x2+1)<1
1-a/(x1+1)(x2+1)>0——#
因为x1>x2
所以(x1-x2)>0——*
由#、*可得
(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)>0
即f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
又因为x1>x2
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增

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(1)当a=2时,利用不等式性质求最小值:f(x)=x+2/(x+1)=(x+1)+2/(x+1) ≥2√2 ,当且仅当(x+1)=2/(x+1) 时取等号。 即当x=√2时,f(x)有最小值2√2。
(2)在定义域[0,+∞) 上任取两数x1和x2,且x1=(x1-x2)[1-a/(x1...

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(1)当a=2时,利用不等式性质求最小值:f(x)=x+2/(x+1)=(x+1)+2/(x+1) ≥2√2 ,当且仅当(x+1)=2/(x+1) 时取等号。 即当x=√2时,f(x)有最小值2√2。
(2)在定义域[0,+∞) 上任取两数x1和x2,且x1=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]=(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)
因为0≤x11, x2+1>1, (x1+1)(x2+1)>1>a, x1-x2<0, 即(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)<0,所以f(x1)

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