设y=x+siny,则[(d^2)y]/[dx^2]=?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 09:17:49
设y=x+siny,则[(d^2)y]/[dx^2]=?

设y=x+siny,则[(d^2)y]/[dx^2]=?
设y=x+siny,则[(d^2)y]/[dx^2]=?

设y=x+siny,则[(d^2)y]/[dx^2]=?
dy=dx+dsiny=dx+cosydy
即y'=dy/dx=1/(1-cosy)
对x求导
y''=-1/(1-cosy)²*(1-cosy)'
=-siny*y'/(1-cosy)²
=-siny/(1-cosy)³
所以d²y/dx²=y''=-siny/(1-cosy)³

这是个隐函数求导问题,y是x的函数。
方程两边对x求导,得:
1 - y' + cos(y) * y' = 0 (1)
进一步得到
y' ( cos(y) - 1) + 1 = 0
y' = 1/ (1-cos(y)) (2)
再在(1)对x求导,得到:
- y'' + cos(y) * y'' + y' ( sin(y)*y') = ...

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这是个隐函数求导问题,y是x的函数。
方程两边对x求导,得:
1 - y' + cos(y) * y' = 0 (1)
进一步得到
y' ( cos(y) - 1) + 1 = 0
y' = 1/ (1-cos(y)) (2)
再在(1)对x求导,得到:
- y'' + cos(y) * y'' + y' ( sin(y)*y') = 0
(-1 + cos(y)) y'' + y' (sin(y)*y') = 0
y'' = sin(y)*(y')^2 / (-1 + cos(y))
将上面(2)的y'代入,即得到最后的y'',即(d^2 y)/(dx^2 ) 。

收起

首先求y'=dy/dx,
对 y=x+siny 两边同时对x求导,得 y'=1+y'*cosy
从而得y'=1/(1-cosy),
对y'两边对x求导,得 y''= -1/(1-cosy)^2*siny*y'
把y'用y'=1/(1-cosy)替换得,
y''= -siny/(1-cosy)^3

y'=1+(cosy)y'
y'=1/(1-cosy)
y''=[-1/(1-cosy)²](siny)y'
=-siny/[(1-cosy)(cosy -1)²]