一棱长为根号2的正四面体,四个顶点都在同一个球面上,求此球的表面积(用X圆周率表示)不用图,必要文字叙述.你看看我的思路哪里有错:四面体的几何中心就是球的球心,底面的高是:1/2根号2*

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 13:49:19

一棱长为根号2的正四面体,四个顶点都在同一个球面上,求此球的表面积(用X*圆周率表示)不用图,必要文字叙述.你看看我的思路哪里有错:四面体的几何中心就是球的球心,底面的高是:1/2*根号2*
一棱长为根号2的正四面体,四个顶点都在同一个球面上,求此球的表面积(用X*圆周率表示)
不用图,必要文字叙述.
你看看我的思路哪里有错:
四面体的几何中心就是球的球心,底面的高是:1/2*根号2*根号3,
四面体的高与地面的交点在底面高的2/3处,这样底面高*2/3,再于棱长,四面体高组成一RT三角形,求出的四面体高,再*2/3就是球的半径,用4*圆周率*半径平方得到表面积
可我算不出答案与选择题里的一样,我哪里有错

一棱长为根号2的正四面体,四个顶点都在同一个球面上,求此球的表面积(用X*圆周率表示)不用图,必要文字叙述.你看看我的思路哪里有错:四面体的几何中心就是球的球心,底面的高是:1/2*根号2*
可以知道,四面体的中心即球心,因此可以求出球的半径
如果你不会求半径,请补充
应该是四面体高的3/4是球的半径吧,好好想想,能理解么
再提示下,从中心可以分成4个全等的小四面体,每个小四面体的高等于正四面体高的1/4,正四面体高-小四面体高=知道球的半径.

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楼上等于没说。本题关键在计算。道理上其实很简单。
我的计算结果如下：
正三角形的边长为x。则三角形重心到各顶点的距离为
r = (x/2)/cos30 = x/√3
做正四面体的高（从顶点到底面的重心），高度为
h = SQRT(x^2 - r^2) = x* SQRT(2/3)
这里 SQRT = Square Root，表示开平方运算。
在高上标出四面体的重心，该重心到四面体各顶点的距离为R
R^2 = r^2 + (h-R)^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2
R = (r^2 +h^2)/2h = (x^2/3 + 2 x^2/3)/[2*x*SQRT(2/3)]
=x/[2SQRT(2/3)]
R 即为正四面体外解球的半径
R^2 = x^2/[4*2/3] = 3x^2/8
4R^2 = 3x^2/2 = 3
球的面积 S = 4R^2*∏ = 3∏

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