作业帮y=2lg(X-2)-lg(X-3)的最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:30:13
y=2lg(X-2)-lg(X-3)的最小值为?
y=2lg(X-2)-lg(X-3)的最小值为?
y=2lg(X-2)-lg(X-3)的最小值为?
定义域x-2>0,x-3>0
所以x>3
y=lg[(x-2)^2/(x-3)]
(x-2)^2/(x-3)
=(x^2-4x+4)/(x-3)
=[(x-1)(x-3)+1]/(x-3)
=x-1+1/(x-3)
=(x-3)+1/(x-3)+2
x>3,x-3>0
(x-3)+1/(x-3)>=2根号[(x-3)*1/(x-3)]=2
当(x-3)=1/(x-3)时取等号
x=4,所以等号能取到
所以(x-3)+1/(x-3)+2>=2+2=4
真数最小=4
所以y最小=lg4
平方移到里面，就是lg(X-2）^2-lg(X-3)=lg(X-2)^2/(X-3)
再合一变形（减变除）就是lg【（X-2）的平方除以(X-3)】
算下【】里值域就行了
y=2lg(X-2)-lg(X-3)
=lg[(x-2)^2/(x-3)]
现在就看[(x-2)^2/(x-3)]的最小值呗
因为对数的定义域要求x-2>0,x-3>0,(x-2)^2/(x-3)>0
所以x>3
(x-2)^2/(x-3)=x-3+11/(x-3)+2>=2*(根号11)+2
所以最小值为：lg(2*(根号11)+2)
y=lg[(x^2-4x+4)/(x-3)]
(x^2-4x+4)/(x-3)=[(x-3)^2+2(x-3)+1]/(x-3)
=(x-3)+1/(x-3)+2
因为(x-3)+1/(x-3)>=2
所以(x^2-4x+4)/(x-3)>=4
原式最小值为lg4，即2lg2 ，此时x=4
化简下，就是lg(X-2）^2-lg(X-3)=lg(X-2)^2/(X-3)
就变成了求（X-2）的平方除以(X-3)的范围，不过好像少条件吧。。要对X有约束
由对数的运算法则，
真数式=(x-2)²/(x-3)=[(x-3)+1]²/（x-3）
=[(x-3)²+2(x-3)+1]/(x-3)
=(x-3)+[1/(x-3)]+2
≥2+2=4 （均值不等式）
故原函数的最小值=lg4.(x=4时)