已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是（200分）已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是:{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1.至于k，是任意给定

已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是（200分）已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是:{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1.至于k，是任意给定
已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是（200分）
已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是:
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1.
至于k，是任意给定正整数。

已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是（200分）已知α,β为锐角,k≥1,证明:α+β=π/2的充要条件是:{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1.至于k，是任意给定
童鞋,初中生打高中竞赛,壮志可嘉!
以上几位同学走了一些弯路,这道题应该通过特殊的k值进行分析：
必要性几乎是显然,α+β=π/2则cosβ=sinα,cosα=sinβ
于是
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}
=sin^2*α+cos^2β=1
至于充分性：（考虑到你是初中同学,所以我写的稍微详细一点儿）
我们不妨先让k=2：
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1.就变成了：
[sin^4*(α)]/[cos^2*(β)]+[cos^4*(α)]/[sin^2*(β)]=1.
不妨令A=[sin^2*(α)]/cosβ,B=[cos^2*(α)]/ sinβ
C= cosβ,D= sinβ
则原式化为A^2+B^2=1
然而：cos^2*(β)+sin^2*(β)=1
所以C^2+D^2=1
根据柯西不等式（很重要的不等式,
(A^2+B^2)*(C^2+D^2)≥(A*C+B*D)^2
取等号的充要条件是：A*D-B*C=0
（或者你用Lagrange恒等式可能更管用,左右展开很显然）
Lagrange恒等式：
(A^2+B^2)*(C^2+D^2)= (A*C+B*D)^2+(A*D-B*C)^2
此时A^2+B^2= C^2+D^2=1
所以左边等于1.
而A*C+B*D
=(sin^2*(α)]/cosβ)* cosβ+([cos^2*(α)]/ sinβ)*sinβ
= cos^2*(α)+sin^2*(α)
=1
所以你可以得到：A*D-B*C=0
也就是[sin^2*(α)]* [sin^2*(β)]- [cos^2*(α)]* [cos^2*(β)]=0
再利用平方差公式结合三角函数的和角公式：
可得：cos(α-β)*cos(α+β)=0
然而α和β又是锐角,-π/2

详见图片，仅供参考

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?? 【sin^(k+2) *(α)】 = [sin(α)] ^(k+2)
充分条件显然。
当 a+b=> sina < sin(pi/2-b）
=>cos a 有：
[sin(α)] ^(k+2) / cos(b) ^k < [sin(pi/2-b)] ^(k+2) ...

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?? 【sin^(k+2) *(α)】 = [sin(α)] ^(k+2)
充分条件显然。
当 a+b=> sina < sin(pi/2-b）
=>cos a 有：
[sin(α)] ^(k+2) / cos(b) ^k < [sin(pi/2-b)] ^(k+2) / cos(b) ^k = cosb^2
cos(a)^k+2 /sin(b)^k< cos(pi/2-b)^k+2 / sinb^k = sinb^2
=> 原始当a+b>pi/2 即a >pi/2-b
=> sina >sin(pi/2-b）
=>cos a >cos(pi/2-b)
有：
[sin(α)] ^(k+2) / cos(b) ^k > sin(pi/2-b） ^(k+2) / cos(b) ^k = cosb^2
cos(a)^k+2 /sin(b)^k >sinb^2
=>原始 >1
得正！

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A+B=π/4
tan(A+B)=1
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=1
tanA+tanB=1-tanAtanB
tanAtanB+tanA+tanB+1=2
(1+tanA)(1+tanB)=2
充分
(1+tanA)(1+tanB)=2
倒推回去
tan(A+B)=1
A+B=kπ+π/4

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A+B=π/4
tan(A+B)=1
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=1
tanA+tanB=1-tanAtanB
tanAtanB+tanA+tanB+1=2
(1+tanA)(1+tanB)=2
充分
(1+tanA)(1+tanB)=2
倒推回去
tan(A+B)=1
A+B=kπ+π/4
锐角则00A+B=π/4
必要
所以是充要条件

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证明：
1、必要性。即α+β=π/2→sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k=1
因为α+β=π/2→sinα=cosβ, cosα=sinβ
所以sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k=sin²α·(1)^k+cos²α·(1)^k=...

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证明：
1、必要性。即α+β=π/2→sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k=1
因为α+β=π/2→sinα=cosβ, cosα=sinβ
所以sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k=sin²α·(1)^k+cos²α·(1)^k=1
2、充分性。即sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k=1→α+β=π/2
我没有找到初等方法，用求导数的方法不难，高中竞赛允许用么?
对于任意给定β，设f(α)=sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k，
f'(α)=(k+2)sinαcosα[(sinα/cosβ)^k-(cosα/sinβ)^k]
由f'(α)=0得tgα=ctgβ, 进而得α＋β=π/2（在α和β皆为锐角的前提下）
当0<α<π/2-β时，0f(π/2-β),
当π/2-β<α<π/2时，sinα/cosβ>1>cosα/sinβ>0, 所以f'(α)>0 →f(α)>f(π/2-β)
故f(π/2-β)=1是f(α)的最小值。故由f(α)=1→α=π/2-β, 即α+β=π/2。充分性证毕。

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必要性证明：
由α+β=π/2得：sinα=cosβ, cosα=sinβ
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}
=sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k
=sin²α·(cosβ/cosβ)^k+cos&#...

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必要性证明：
由α+β=π/2得：sinα=cosβ, cosα=sinβ
{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}
=sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k
=sin²α·(cosβ/cosβ)^k+cos²α·(sinβ/sinβ)^k=1
所以：[sin^(k+2) *(α)]/[cos^k*(β)]+[cos^(k+2) *(α)]/[sin^(k)*(β)]=1是α+β=π/2的必要条件。
充分性证明：
由：{【sin^(k+2) *(α)】/【cos^k*(β)】}+{【cos^(k+2) *(α)】/【sin^(k)*(β)】}=1整理得：
sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k=1
即sin²α·(sinα/cosβ)^k+cos²α·(cosα/sinβ)^k=sin²α+cos²α
由于上式对于任意α均成立，因此是一个关于变量α的恒等式
恒等式两端同类项系数相等，可得：
(sinα/cosβ)^k=(cosα/sinβ)^k=1=1^k
由于α,β为锐角，k≥1，所以：sinα/cosβ=1，sinα=cosβ
可得：α+β=π/2
所以：[sin^(k+2) *(α)]/[cos^k*(β)]+[cos^(k+2) *(α)]/[sin^(k)*(β)]=1是α+β=π/2的充分条件。

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初中知识不记得了啊！