作业帮A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵,证若R(A)=n,则R(AB)=R(B)原题就是这样，希望得到更多解答的方法
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 23:51:22
A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵,证若R(A)=n,则R(AB)=R(B)原题就是这样，希望得到更多解答的方法
A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵,证若R(A)=n,则R(AB)=R(B)
原题就是这样，希望得到更多解答的方法
A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵,证若R(A)=n,则R(AB)=R(B)原题就是这样，希望得到更多解答的方法
对线性方程组BX=0来说其基础解系维数为s-R(B)
对线性方程组ABX=0来说其基础解系维数为s-R(AB)
而线性方程组ABX=0可以将BX看做一个变量
其基础解系维数可以认为是n-R(A)+s-R(B)
由于R(A)=n,则s-R(AB)=s-R(B)
则R(AB)=R(B)
题目应该改成：A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵, 证若R(A)=n,则R(AB)<=R(B)
证明 ：
令 C=AB,
A=（aij）mn B=(bij)ns C=(cij)ms
设Bi (i=1,2...n) 为 B的行向量，Ci (i=1,2...m) 为C的行向量
则
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题目应该改成：A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵, 证若R(A)=n,则R(AB)<=R(B)
证明 ：
令 C=AB,
A=（aij）mn B=(bij)ns C=(cij)ms
设Bi (i=1,2...n) 为 B的行向量，Ci (i=1,2...m) 为C的行向量
则
Ci=ai1B1+ai2B2+.....+ainBn
即 C的行向量可以由 向量组Bi ，表出，所以R(C)<=R(B)
A不一定可逆，即CA-1=B 不一定成立，所以，R(C)>=R(B） 不一定成立，
所以 R(AB)<=R(B)
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