急在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法证明若数列bn=an/n,求数列{bn}的前n项和Sn

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 16:20:02
急在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法证明若数列bn=an/n,求数列{bn}的前n项和Sn

急在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法证明若数列bn=an/n,求数列{bn}的前n项和Sn
急在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法证明
若数列bn=an/n,求数列{bn}的前n项和Sn

急在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法在数列{an}中,a1=1,an+1=2an/2+an(n属于自然数) 猜想an,并用数学归纳法证明若数列bn=an/n,求数列{bn}的前n项和Sn
利用:a1=1及a(n+1)=2an/(2+an),得:
a1=1
a2=2/3
a3=1/2=2/4
a4=2/5
猜测:an=2/(n+1)
证明:
1、当n=1时,an=a1=2/(1+1)=1,满足;
2、设:当n=k时,ak=2/(k+1)
则当n=k+1时,
a(k+1)=2ak/(2+ak) 【以ak=2/(k+1)代入】
=2/[(k+1)+1]
即当n=k+1时也成立
从而得证.
bn=an/n=2/[n(n+1)]=2[(1/n)-1/(n+1)]
则:
Sn=2{[(1/1)-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+[(1/3)-(1/4)]+…+[1/n-1/(n+1)]}
=(2n)/(n+1)

a(n+1)=2an/(2+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=1/an+1/2
1/a1=1
{1/an}是以1为首项,1/2为公差的等差数列
1/an=1+(1/2)*(n-1)
1/an=(n+1)/2
an=2/(n+1)

取倒数构造法
an+1=2an/2+an两边取倒数,1/an+1=2+an/2an=1/an+1/2 构造新的数列bn=1/an
满足bn+1=bn+1/2 则数列bn是以1为首相,1/2为公差的等差数列
bn=1+(n-1)1/2=(n+1)/2
所以an=2/(n+1)

a1=1及a(n+1)=2an/(2+an),得:
a1=1
a2=2/3
a3=1/2=2/4
a4=2/5
猜测:an=2/(n+1)
证明:
1、当n=1时,an=a1=2/(1+1)=1,满足;
2、设:当n=k时,ak=2/(k+1)
则当n=k+1时,
a(k+1)=2ak/(2+ak) ...

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a1=1及a(n+1)=2an/(2+an),得:
a1=1
a2=2/3
a3=1/2=2/4
a4=2/5
猜测:an=2/(n+1)
证明:
1、当n=1时,an=a1=2/(1+1)=1,满足;
2、设:当n=k时,ak=2/(k+1)
则当n=k+1时,
a(k+1)=2ak/(2+ak) 【以ak=2/(k+1)代入】
=2/[(k+1)+1]
即当n=k+1时也成立
3、根据(1)(2)得证an+1=2an/2+an。
bn=an/n=2/[n(n+1)]=2[(1/n)-1/(n+1)]
则:
Sn=2{[(1/1)-(1/2)]+[(1/2)-(1/3)]+[(1/3)-(1/4)]+…+[1/n-1/(n+1)]}
=(2n)/(n+1)
高二下学期的知识 注意格式的要求!!!!

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