作业帮有12个鸡蛋,其中有一个是坏的,坏蛋不知道比好蛋是重还是轻,如何用天平称3次就找出坏蛋?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 06:51:55
有12个鸡蛋,其中有一个是坏的,坏蛋不知道比好蛋是重还是轻,如何用天平称3次就找出坏蛋?
有12个鸡蛋,其中有一个是坏的,坏蛋不知道比好蛋是重还是轻,如何用天平称3次就找出坏蛋?
有12个鸡蛋,其中有一个是坏的,坏蛋不知道比好蛋是重还是轻,如何用天平称3次就找出坏蛋?
首先,把鸡蛋编上号,从1到12,以便叙述算法.在用天平进行称量的时候,每一次都可能有三种结果,分别是：左盘比右盘重,左盘比右盘轻,以及左右平衡.用0、1、2三个数来表示这三种状态,那么所有的结果都可以编码为三进制的数.题目规定可以称3次,那么一共可能出现3×3×3＝27种组合,也就是要用3位三进制数来表示.这27个三进制数一共可以指示出27个“坏蛋”可能存在的位置.而12个鸡蛋中有一个“坏蛋”,那么只有12个可能的位置.加上坏蛋到底比好蛋重还是轻不清楚,所以这两种可能都必须考虑,那么一共只有12×2＝24个“坏蛋”可能存在的位置.24＜27这是很显而易见的事,所以说,12个鸡蛋,称3次完全能找出那个“坏蛋”.就算是13个鸡蛋,有13×2＝26种可能,但26＜27,仍能找出那个“坏蛋”.
解题的方法很简单,把编上号的鸡蛋,按一定的顺序分成3堆.每次都把第一堆放在左盘上,第二堆放在右盘上进行称量,记录上称量的结果.然后按合适的原则重新另外分组,再称.如此重复3次,就可以得到唯一确定的称量结果码.对照一个真值表,就可以找到“坏蛋”的序号,并且“坏蛋”到底比“好蛋”重还是轻也可以知道.
那么,分堆的方法是什么?只要每种称量结果码都是唯一的就可以了,我采用了如下的分堆原则：
第一堆 第二堆 第三堆
第一次：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
第二次：1 2 5 9 3 6 10 11 4 7 8 12
第三次：1 9 10 12 2 3 4 7 5 6 8 11
至于如何来找到一个合适当分堆方法,感兴趣的请接着往下看：
前面提到了,只要能使每个结果码唯一,分堆的方法就是可用的.方法不止一种,我们只需要其中的一个就足够了.为此假设“坏蛋”是个偏重的蛋,先找出12个三进制码.由于没有别的限制条件,任取12个码就是.
然后假设“坏蛋”是个偏轻的蛋.这时原来结果是0的码位将会变成1,原来是1的码位会变成0,而2不变.也就说偏重时的结果码210,若改为偏轻的话,码会变为201.为了区别清楚坏蛋到底是偏重还是偏轻,必须明确区分这两种码.我们把这种码对称为“0－1镜像码对”.显然,假设“坏蛋”偏重时选的那12个码中,不能同时出现“0－1镜像码对”的两个码,否则就无法把偏重的情况和偏轻的情况区分开来.而且222这个码由于没有“0－1镜像码”,不能参与选择,必须把它排除在外.这样就只有26个码可供选择了.
一个3位三进制码的每一位的值都代表了一次称量的结果.坏蛋出现在第一组的可能只有4种,因为第一组只有4个蛋.所以结果码中某一位上0出现的次数只能是4次,同理,1和2也只能出现4次.因此在选择码的时候得注意使0、1、2在每位上都出现4次.若不符合,可通过把一个码替换成它的“0－1镜像码”来解决.通过一次或多次的替换,最终可以找到一些满足以上所有条件的码的组合,这实际上就是我们所需要的结果真值表.根据结果码倒推出分组方法应该不难,只要确定哪些数字在哪组内就可以了.