作业帮极坐标解题：抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点PPF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:06:26
极坐标解题：抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点PPF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
极坐标解题：抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点P
PF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
极坐标解题：抛物线方程y^2=4x.F是焦点,过F做直线l交抛物线于点A、B,与y轴交于点PPF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量,证λ1+λ2为定值,并求出该定值.
先画出草图.焦点F(1,0).设过焦点F的直线l方程为：
y=k(x-1)
令x=0得y=-k,故有P(0,-k)
代入y^2=4x得
y^2-4/k*y-4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
依韦达定理有
y1+y2=4/k
y1y1=-4
由于点P(0,-k),A(x1,y1),F(1,0),B(x2,y2)死点共线,故每个向量只需考虑对应纵坐标的差值.
因此由PF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量得
0-(-k)=λ1*(y1-0)= λ2*(y2-0)
得λ1+λ2=k/y1+k/y2
=k(y1+y2)/(y1y2)
=k(4/k)/(-4)=-1
故λ1+λ2=-1为定值.
用极坐标法：
y^2=4x
焦点F(1,0)
将曲线y^2=4x左移1个单位,得y^2=4(x+1)
(ρsinθ)^2=4(ρcosθ+1)
(sinθ)^2*ρ^2-4cosθ*ρ-4=0
ρ=(2cosθ+2)/sin^2 θ （ρ=(2cosθ-2)/sin^2 θ≤0舍去）
|PF|=1/cosθ
|FA|=[2cos(θ+π)+2)/sin^2 (θ+π)=(-2cosθ+2)/sin^2 θ
|FB|=(2cosθ+2)/sin^2 θ
故由PF向量=λ1*FA向量= λ2*FB向量得
-1/cosθ=λ1*(-2cosθ+2)/sin^2 θ= λ2*(2cosθ+2)/sin^2 θ
得λ1+λ2=-sin^2 θ/[cosθ(-2cosθ+2)]-sin^2 θ/[cosθ(2cosθ+2)]
=-1
圆锥曲线去好好学学！