中心在原点,焦点F1(0,-根号2)F2(0,根号2)的椭圆C,被直线y=-2x+3截得的弦的中点横坐标是1,求此椭圆的方程为?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 02:34:57
中心在原点,焦点F1(0,-根号2)F2(0,根号2)的椭圆C,被直线y=-2x+3截得的弦的中点横坐标是1,求此椭圆的方程为?

中心在原点,焦点F1(0,-根号2)F2(0,根号2)的椭圆C,被直线y=-2x+3截得的弦的中点横坐标是1,求此椭圆的方程为?
中心在原点,焦点F1(0,-根号2)F2(0,根号2)的椭圆C,被直线y=-2x+3截得的弦的中点横坐标是1,求此椭圆的方程为?

中心在原点,焦点F1(0,-根号2)F2(0,根号2)的椭圆C,被直线y=-2x+3截得的弦的中点横坐标是1,求此椭圆的方程为?

解题思路:用点差法
知识点:“点差法”。
1.设P(x1,y1),Q(x1,y2)是椭圆b²x²+a²y²=a²b²上不同的两个点,k为它们所在直线的斜率,M(x0,y0)为PQ的中点。则有
k=-b²•x0/(a²•y0) ...

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解题思路:用点差法
知识点:“点差法”。
1.设P(x1,y1),Q(x1,y2)是椭圆b²x²+a²y²=a²b²上不同的两个点,k为它们所在直线的斜率,M(x0,y0)为PQ的中点。则有
k=-b²•x0/(a²•y0) (1)
关于弦的中点问题,(1)式是个有用的式子,推导过程如下:
代点: b²x1²+a²y1²=a²b²
b²x2²+a²y2²=a²b²
作差:b²(x2-x1)(x2+x1)+a²(y2-y1)(y2+y1)=0
整理后,就可得到(1)式。
2. 对于焦点在y轴上的椭圆,有
k=-a²•x0/(b²•y0) (2)
证明方法是一样的。
本题中,椭圆被直线L: y=-2x+3截得弦的中点横坐标为1,所以纵坐标为1,
代入(2)式,得-2=-a²/b²,即a²=2b²,又 c=√2,a²=b²+2,解得a²=4,b²=2
椭圆的方程为x²/2+y²/4=1

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