作业帮导数证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 14:31:21
导数证明题
导数证明题
导数证明题
(1)假设存在c∈(a,b)使得g(c)=0
则存在c1∈(a,c),c2∈(c,b),使得g'(c1)=g'(c2)=0
所以存在d∈(c1,c2),使得g''(d)=0,矛盾
(2)即证明存在ξ,使得f(ξ)g''(ξ)=f''(ξ)g(ξ)
即f(ξ)g''(ξ)+f'(ξ)g'(ξ)=f''(ξ)g(ξ)+f'(ξ)g'(ξ)
即(f(ξ)g'(ξ))'=(f'(ξ)g(ξ))'
设h1(x)=f(x)g'(x),h2(x)=f'(x)g(x)
则h1(a)=h1(b)=h2(a)=h2(b)=0
所以存在ξ∈(a,b)使得h1'(ξ)=h2'(ξ)=0
即(f(ξ)g'(ξ))'=(f'(ξ)g(ξ))'
(1)假设还有一根c∈(a,b)，那么g(a)=g(c)=g(b)=0 用两次roll第定理，可知g``(x)=0有一根，与题设矛盾
(2)构造函数F(x)=f(x)g`(x)-f`(x)g(x) 那么F(a)=F(b)=0,所以F`(x)=0有一根