n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为什么是A逆为正定矩阵,请大家指教,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 21:24:32

n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为什么是A逆为正定矩阵,请大家指教,
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n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为什么是A逆为正定矩阵,请大家指教,
先来一些必要的陈述,说明实对称矩阵A的逆矩阵也是实对称矩阵,进而能讨论正定的问题.
[A^(-1)]^T=[A^T]^(-1)=A^(-1)
所以A的逆矩阵也是实对称阵.
接下来正式开始证明：
可以从特征值的角度来看.
必要性：
如果n阶实对称矩阵A为正定矩阵,那么A的正惯性指数为n,即A的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0.由于A的特征值没有0,所以A可逆,且A的逆的特征值为1/x1,1/x2,...,1/xn.显然A的逆的特征值也都大于0,故A的逆也正定.
充分性：（和必要性证法类似）
如果A的逆矩阵为正定矩阵,那么它的正惯性指数为n,即A的逆的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0.A的特征值为1/x1,1/x2,...,1/xn.显然A的特征值也都大于0,故A正定.

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