作业帮lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷答案等于e^2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 03:50:54
![lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷答案等于e^2](/uploads/image/z/2689467-51-7.jpg?t=lim+n%5Be2-%281%2B1%2Fn%29%5E2n%5D%2C%E5%BD%93n%E8%B6%8B%E5%90%91%E4%BA%8E%E6%97%A0%E7%A9%B7%E7%AD%94%E6%A1%88%E7%AD%89%E4%BA%8Ee%5E2)
lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷答案等于e^2
lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷
答案等于e^2
lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷答案等于e^2
lim(n→∞) n[e^2-(1+1/n)^(2n)]
=lim(n→∞) [e^2-(1+1/n)^(2n)]/(1/n)
注意(1+1/n)^(2n)的导数是2[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)
原式=lim(n→∞) -2【[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)】/(-1/n^2),用洛必达法则
-2[lim(n→∞) (1+1/n)^n]^2*lim(n→∞) [ln(1+1/n)-1/(n+1)]/(-1/n^2)
=-2e^2*lim(n→∞) [1/(n+1)-ln(1+1/n)]/(1/n^2),令t=1/n
=-2e^2*lim(t→0) [t/(1+t)-ln(1+t)]/t^2
=-2e^2*lim(t→0) [1/(1+t)^2-1/(1+t)]/(2t),再用洛必达法则
=-e^2*lim(t→0) 1/t*[1-(1+t)]/(1+t)^2
=-e^2*lim(t→0) -1/(1+t)^2
=e^2*1/(1+0)^2
=e^2
用粗略的方法:
展开(1+1/n)^(2n)=e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...
∴lim(n→∞) n[e^2-(1+1/n)^2n]
=lim(n→∞) n【e^2-[e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...]】
=lim(n→∞) n【e^2/n-7e^2/(6n^2)+4e^2/(3n^3)+...】
=lim(n→∞) 【e^2-7e^2/(6n)+4e^2/(3n^2)+...】
=e^2
挻麻烦的，我算了一下，等于2e^2，不知对否。
过程如下，令y=(1+1/n)^n, 刚ln y=n*ln(1+1/n)=ln(1+1/n)/(1/n) 上下均趋近于0，用洛比达法则，得
ln y=n/(n+1), y=e^(n/(n+1))=e^(1-1/(n+1))=e^(1-1/n)=e*e^(-1/n) 用啥啥法展开e^(-1/n)=1-1/n+(1/n^2)*(1/2)...
全部展开
挻麻烦的，我算了一下，等于2e^2，不知对否。
过程如下，令y=(1+1/n)^n, 刚ln y=n*ln(1+1/n)=ln(1+1/n)/(1/n) 上下均趋近于0，用洛比达法则，得
ln y=n/(n+1), y=e^(n/(n+1))=e^(1-1/(n+1))=e^(1-1/n)=e*e^(-1/n) 用啥啥法展开e^(-1/n)=1-1/n+(1/n^2)*(1/2)…………，忽略第三项及之后，e^(-1/n)=1-1/n
代入得，y=e*(1-1/n)
原式＝n(e^2-(e*(1-1/n))^2)=n(e^2(2/n-1/n^2))=2e^2
虽说你的答案等于e^2，不过我又检查了下我的过程，感觉没什么问题，我还是坚持答案等于2e^2
收起