作业帮证明：三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 11:33:20
证明：三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.
证明：三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.
证明：三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.
设三个连续奇数为2n-1、2n+1、2n+3（n为任意整数）,由题意三个连续奇数的平方和为
（2n-1）^2 +（2n+1）^2 +（2n+3）^2 = 12（n^2 + n + 1）,由于n为整数,所以n^2 + n + 1也必为整数,所以12（n^2 + n + 1）能被12整除
又n^2 + n + 1 = n（n + 1）+ 1,因为n（n + 1）必定是偶数,所以 n（n + 1）+ 1必定是奇数,所以12（n^2 + n + 1）不能被24整除
(a-2)^2+a^2+(a+2)^2+1=3a^2+9,因为a为奇数，所以设a=2b+1，b属于R，原式=12b^2+12b+12=12(b^2+b+1)，所以原式是12的倍数，而b^2+b=b(b+1)为偶数，所以b^2+b+1=b(b+1)+1为奇数，所以不能被24整除
设这三个数是 2x-1 2x+1 2x+3
（2x-1）的平方 + （2x+1）的平方 +( 2x+3)的平方 + 1
=12x 的平方 + 12x + 11 + 1
=12x 的平方 + 12x +12 = 12 (x 的平方 + x+ 1)
显然能被12整除 但不一定能被24整除
三个连续的奇数分别为（2n-1),(2n+1),(2n+3)
（2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2+1
=4n^2-4n+1+4n^2+4n+1+4n^2+12n+9+1
=12n^2+12n+12
=12(n^2+n+1)
能被12整除
n^2+n+1=n(n+1)+1 不能被2整除，所以不能被24整除
设这三个数是 2x-1 2x+1 2x+3 X属于自然数N.
则连续平方和+1
求解得结果为12(x^2+x+1)
很明显能被12整除
当X为偶数时。x^2+x+1为偶数+偶数+1。必为奇数。所以不能被2整除
当X为奇数时。x^2+x+1为奇数+奇数+1，亦必为奇数。亦不能被2整除。
所以得证。...
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设这三个数是 2x-1 2x+1 2x+3 X属于自然数N.
则连续平方和+1
求解得结果为12(x^2+x+1)
很明显能被12整除
当X为偶数时。x^2+x+1为偶数+偶数+1。必为奇数。所以不能被2整除
当X为奇数时。x^2+x+1为奇数+奇数+1，亦必为奇数。亦不能被2整除。
所以得证。
收起
1*1+3*3+5*5+1=36