已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中

已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中
已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明；
②拓展运用：如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断1/DM+1/DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由.

已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中
（1）证明：如图1,分别连接OE、0F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC．AO=DC=BC,
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°,
又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴OE=CD,OF=BC,AO=AD,
∴0E=OF=OA,
∴点O即为△AEF的外心．
①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA,
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ,
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上．
②1/DM+1/DN为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P,由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G,
设DM=x,DN=y（x≠0．y≠O）,则CN=y-1,
∵BC∥DA,
∴△GBP≌△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA,
∴△NCG∽△NDM,
∴CN/DN=CG/DM,
∴(y-1)/y=(1-x)/x,
∴x+y=2xy,
∴1/x+1/y=2,
即1/DM+1/DN=2．

（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AC=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=1 2 ∠ADC=1 2 ×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=1 2 CD，OF=1 2 BC，AO=1 2 AD，
∴0E=OF=OA，

全部展开

（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AC=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=1 2 ∠ADC=1 2 ×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=1 2 CD，OF=1 2 BC，AO=1 2 AD，
∴0E=OF=OA，
∴点O即为△AEF的外心．
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
②1 DM +1 DN 为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP≌△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴CN DN =CG DM ，
∴y-1 y =1-x x ，
∴x+y=2xy，
∴1 x +1 y =2，
即1 DM +1 DN =2

收起