作业帮如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=角AEC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 13:48:50
如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=角AEC
如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=
角AEC
如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=角AEC
（1）证明：∵AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．
∵OP⊥BC,
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．
又∠AEC=∠ABC,
∴∠OPB=∠AEC．
（2）连接OC．
∵C为半圆弧ACB的三等分点,
∴∠AOC=60°．
∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°．
由（1）,得∠POB=90°-∠OPB=60°．
∴∠ECB=30°．
∴∠ABC=∠ECB=30°．
∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直径,
∴AC⊥BC．
又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,
∴AC∥OE．
∴四边形AOEC是平行四边形．
又 OA=OE,
∴四边形AOEC是菱形．
1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．（1分）
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．（2分）
又∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．（3分）
（2）四边形AOEC是菱形．
证法一：∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴...
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1）证明：∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．（1分）
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．（2分）
又∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．（3分）
（2）四边形AOEC是菱形．
证法一：∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴弧CE =弧BE （4分）
∵C为弧ACB 的三等分点，
∴ 弧AC= 弧CE=弧BE
∴∠ABC=∠ECB．（5分）
∴AB∥CE．（6分）
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC．（7分）
又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC∥OE．（8分）
∴四边形AOEC是平行四边形．（9分）
又 OA=OE，
∴四边形AOEC是菱形．（10分）
证法二：连接OC．
∵C为半圆弧ACB的三等分点，
∴∠AOC=60°．
∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°．
由（1），得∠POB=90°-∠OPB=60°．
∴∠ECB=30°．
∴∠ABC=∠ECB=30°．
∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC．
又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴AC∥OE．
∴四边形AOEC是平行四边形．
又 OA=OE，
∴四边形AOEC是菱形．
证法三：连接OC，则OC=OA=OE．
∵C为半圆弧ACB 的三等分点，
∴∠AOC=60°．
∴△AOC为等边三角形．
∴AC=AO．
∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E，
∴ 弧CE=弧BE
∵C为半圆弧ACB的三等分点，
∴弧AC=弧CE =弧BE
∴AC=CE．
∴AC=CE=OA=OE．
∴四边形AOEC是菱形．
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