作业帮函数与倒数的关系 单调区间 参数取值范围已知函数f(x)=x^3+ax^2+1,x属于R.(1)讨论函数f(x)的单调区间（2）设函数f(x)在区间（-2/3,-1/3）内是减函数,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 23:27:18
函数与倒数的关系 单调区间 参数取值范围已知函数f(x)=x^3+ax^2+1,x属于R.(1)讨论函数f(x)的单调区间（2）设函数f(x)在区间（-2/3,-1/3）内是减函数,求a的取值范围
函数与倒数的关系 单调区间 参数取值范围
已知函数f(x)=x^3+ax^2+1,x属于R.(1)讨论函数f(x)的单调区间（2）设函数f(x)在区间（-2/3,-1/3）内是减函数,求a的取值范围
函数与倒数的关系 单调区间 参数取值范围已知函数f(x)=x^3+ax^2+1,x属于R.(1)讨论函数f(x)的单调区间（2）设函数f(x)在区间（-2/3,-1/3）内是减函数,求a的取值范围
第一问求导，看导数与零的关系，分类讨论a与0。。。第二问区间内导数小于0
1.函数的导数为f’（x）=3x^2+2ax=3x(x+2a/3)
a<0时：x<0;x>-2a/3上递增函数（0.-2a/3）上递减
a=0时：函数为递增
a>0时：x>0;x<-2a/3上递增函数（-2a/3.0）上递减
2.f（x）在（-2/3，-1/3）减函数
-2a/3<=-2/3推出a>=1
解1：
f(x)=x³+ax²+1
f'(x)=3x²+2ax
1、令：f'(x)＞0，即：3x²+2ax＞0
整理：x(3x+2a)＞0
有：x＞0、3x+2a＞0……………………(1)
或：x＜0、3x+2a＜0……………………(2)
由(1)得：当a≤0时：x＞-2a/3；当a≥0时：x＞0。
全部展开
解1：
f(x)=x³+ax²+1
f'(x)=3x²+2ax
1、令：f'(x)＞0，即：3x²+2ax＞0
整理：x(3x+2a)＞0
有：x＞0、3x+2a＞0……………………(1)
或：x＜0、3x+2a＜0……………………(2)
由(1)得：当a≤0时：x＞-2a/3；当a≥0时：x＞0。
由(2)得：当a≤0时：不等式无解；当a≥0时：x＜-2a/3。
2、令：f'(x)＜0，即：3x²+2ax＜0
整理：x(3x+2a)＜0
有：x＞0、3x+2a＜0……………………(3)
或：x＜0、3x+2a＞0……………………(4)
由(3)得：当a≤0时：0＜x＜-2a/3；当a＞0时：不等式无解；。
由(4)得：当a＜0时：不等式无解；当a≥0时：-2a/3＜x＜0。
综上所述，有：
当a≤0时：f(x)的单调减区间是x∈(0，-2a/3)；单调增区间是x∈(-2a/3，∞)。
当a≥0时：f(x)的单调减区间是x∈(-2a/3，0)；单调增区间是x∈(-∞，-2a/3)∪(0，∞)。
解2：
已知：f(x)在区间x∈(-2/3，-1/3)内是减函数
f(x)=x³+ax²+1
f'(x)=3x²+2ax
令：f'(x)≤0，即：3x²+2ax≤0
整理，得：x(3x+2a)≤0
有：x≤0、3x+2a≥0………………(5)
或：x≥0、3x+2a≤0………………(6)
由(5)得：x≤0、x≥-2a/3
当a≤0时：不等式无解；
当a≥0时：-2a/3≤x≤0。
由(6)得：x≥0、x≤-2a/3
当a≤0时：0≤x≤-2a/3；
当a≥0时：不等式无解。
综合以上，有：
当a≤0时：f(x)的减区间是x∈[0，-2a/3]；
当a≥0时：f(x)的减区间是x∈[2a/3，≤0]。
可见，不管哪种情况，f(x)的减区间均不是∈(-2/3，-1/3)
也就是说，无论a为何值，在x∈(-2/3，-1/3)上，f(x)不可能是减函数。
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