一道高数题：证明不等式x-x^2/2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 17:28:46

一道高数题：证明不等式x-x^2/2
一道高数题：证明不等式x-x^2/20)

一道高数题：证明不等式x-x^2/2
先证明前半部分,设函数f(x)=x-x²/2-ln(1+x),显然f(0)=0,f(x)'=1-x-1/(1+x),当x>0时,f(x)'<0,
所以当x>0时,f(x)<0.
后半部分也一样,后半部分相当于证明：2(1+x)ln(1+x)g(0)=0,g(x)'=2[ln(1+x)-x],只需证明当x>0时g(x)'<0,不过这时还看不出来,而g(0)'=0,再求一次导数得：g(x)"/2=1/(1+x)-x,显然当x>0时,g(x)"<0,从而得证.

令f(x)=x-(x*x)/2-ln(1+x),则f'(x)=1-x-1/(1+x)=-(x*x)/(1+x)<0,所以f(x)单调递减,又f(0)=0,所以x-(x*x)/2

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