如图,AD、BE是三角形ABC的高,DF垂直于AB,F为垂足,DF交BE于点G,FD与AC的延长线交于点H求证:FD是FG和FH的比例中项
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 22:00:16
如图,AD、BE是三角形ABC的高,DF垂直于AB,F为垂足,DF交BE于点G,FD与AC的延长线交于点H求证:FD是FG和FH的比例中项
如图,AD、BE是三角形ABC的高,DF垂直于AB,F为垂足,DF交BE于点G,FD与AC的延长线交于点H
求证:FD是FG和FH的比例中项
如图,AD、BE是三角形ABC的高,DF垂直于AB,F为垂足,DF交BE于点G,FD与AC的延长线交于点H求证:FD是FG和FH的比例中项
证明:
∵DF⊥AB,AD⊥BC
∴FD²=AF*BF
易证△BFG∽△HFA
∴AF*BF=FG*FH
∴FD²=FG*FH
∴FD是FG和FH的比例中项
角AFH=角GFB=90°,
角BAE+角ABE=90°
角BAE+角AHF=90°
所以角AHF=角ABE(同角的余角相等)
所以△AFH相似于△GFB
所以AF:GF=FH:FB、 所以FG*FH=AF*FB
角AFD=角BFD=90°
角FAD+角ADF=90°
角BDF+角ADF=90°
所以角FAD...
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角AFH=角GFB=90°,
角BAE+角ABE=90°
角BAE+角AHF=90°
所以角AHF=角ABE(同角的余角相等)
所以△AFH相似于△GFB
所以AF:GF=FH:FB、 所以FG*FH=AF*FB
角AFD=角BFD=90°
角FAD+角ADF=90°
角BDF+角ADF=90°
所以角FAD=角BDF(同角的余角相等)
△AFD相似于△BFD
所以AF:FD=FD:BF 所以FD^2=AF*FB
所以FD^2=FG*FH
FD是FG和FH的比例中项
收起
三角形BFG相似于三角形BEA, 可得
FG/AE=BF/BE。
AFH相似于AEB,可得 FH/BE=AF/AE
故 FG*FH=BF*AF
又BDF相似于DAF,可得 BF/DF=DF/AF
联立可得 DF^2=FG*FH.
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