n个平面最多可将空间分成多少个部分

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 21:31:04

n个平面最多可将空间分成多少个部分
n个平面最多可将空间分成多少个部分

n个平面最多可将空间分成多少个部分
n 个平面最多可将空间分成多少个部分问题提出：空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分?问题分析：显然,当这n 个平面满足以下条件时,所分割的部分数是最多的.1、这n 个平面两两相交； 2、没有三个以上的平面交于一点； 3、这n 个平面的交线任两条都不平行.对于一般情况一下子不易考虑,我们不妨试着从简单的,特殊的情况入手来寻找规律.设n个平面分空间的部分数为 n a ,易知当 1 n 时,2 n a ；当 2 n 时,4 n a 当 3 n 时,8 n a 当 4 n 时,情况有些复杂,我们以一个四面体为模型来观察,可知 15 n a ；从以上几种情况,很难找出一个一般性的规律,而且当 n 的值继续增大时,情况更复杂,看来这样不行.那么,我们把问题在进一步简单化,将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分?（这n条直线中,任两条不平行,任三条不交于同一点）,设n 条直线最多可将平面分割成 n b 个部分,那么当 3 ,2 ,1 n 时,易知平面最多被分为2,4,7 个部分.当 k n 时,设k 条直线将平面分成了 k b 个部分,接着当添加上第 1 k 条直线时,这条直线与前k 条直线相交有k 个交点,这k 个交点将第k 条直线分割成 n 段,而每一段将它所在的区域一分为二,从而增加了 1 k 个区域,故得递推关系式 ) 1 ( 1 k b b k k ,即 1 1 k b b k k 显然当 1 k 时,2 1 b ,当 1 ,,2 ,1 n k 时,我们得到 1 n 个式子：2 1 2 b b 3 2 3 b b 4 3 4 b b …… n b b n n 1 将这 1 n 个式子相加,得 ) 2 ( 2 1 2 n n b n ,即 n 条直线最多可将平面分割成 ) 2 ( 2 1 2 n n 个部分.我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手,确定 k b 与 1 k b 的递推关系,最后得出结论.现在,我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题,设k 个平面将空间分割成 k a 个部分,再添加上第 1 k 个平面,这个平面与前k 个平面相交有k条交线,这k 条交线,任意三条不共点,任意两条不平行,因此这第 1 k 个平面就被这k 条直线分割成 k b 个部分.而这 k b 个部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间.所以,添加上这第 1 k 个平面后就把原有的空间数增加了 k b 个部分.由此的递推关系式 k k k b a a 1 ,即 k k k b a a 1 当 1 ,,2 ,1 n k ,时,我们得到如下 1 n 个关系式 1 1 2 b a a 2 2 3 b a a …… 1 1 n n n b a a 将这 1 n 个式子相加,得 ) ( 1 2 1 1 n n b b b a a 因为 ) 2 ( 2 1 2 n n b n ,2 1 a 所以 n a ) 2 ( 2 1 ) 2 2 2 ( 2 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 2 2 2 n n =2+ ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 ( ) 1 ( 2 1 ( 2 1 2 2 2 n n n = n n n n n n ) 1 ( 2 1 ) 1 2 ( ) 1 ( 6 1 2 1 1 = ) 1 ( ) 1 ( 6 1 1 n n n n = 6 6 5 3 n n 由上述分析和推导可知,n 个平面最多可将平面分割成 ) 6 5 ( 6 1 3 n n 个部分.巩固练习：1、①平面上3 条直线可将平面分成几个区域?②空间3 个平面可将空间分成几个部分?③空间5 个平面最多可将空间分成几个部分?