作业帮已知α,β∈（0,π/2）,且sinα=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值已知α，β∈（0，π/2），且sinβ=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值用基本不等式算
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:47:23
已知α,β∈（0,π/2）,且sinα=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值已知α，β∈（0，π/2），且sinβ=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值用基本不等式算
已知α,β∈（0,π/2）,且sinα=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值
已知α，β∈（0，π/2），且sinβ=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值
用基本不等式算
已知α,β∈（0,π/2）,且sinα=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值已知α，β∈（0，π/2），且sinβ=sinαcos(α+β),当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值用基本不等式算
tan b=sin b/cos b=sin a*cos(a+b)/cos b=sin a*cos a-sin a*sin b/cos b
tan b(1+（sin a）^2)=sin a*cos a
tan b=sin a*cos a/(1+(sin a)^2)
所以tanβ=sinαcosα/（1+sinαsinα)
=(1/2sin2α)/(1+(1+sin2α)/2)
=sin2α/(3-cos2α)
求导=-2（3cos2α-1)/(3-cos2α)^2=0
得cos2α=1/3
所以sin α=根号3/3 cos α=根号6/3
得tan β=根号2/4
tan α =1/根号2
得tan(α+β)=根号2
sinα=sinαcos(α+β)打错了吧
因为sinβ=sinαcos(α+β),
所以tanβ=sinβ/cosβ=sinαcos(α+β)/cosβ
=sinα（cosαcosβ-sinβsinα)/cosβ
展开可得tanβ=sinαcosα-sinαsinαtanβ
所以tanβ+sinαsinαtanβ=sinαcosα
所以tanβ=sinαcosα/（1+sinαsinα)
...
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因为sinβ=sinαcos(α+β),
所以tanβ=sinβ/cosβ=sinαcos(α+β)/cosβ
=sinα（cosαcosβ-sinβsinα)/cosβ
展开可得tanβ=sinαcosα-sinαsinαtanβ
所以tanβ+sinαsinαtanβ=sinαcosα
所以tanβ=sinαcosα/（1+sinαsinα)
=(1/2sin2α)/(1+(1+sin2α)/2)
=sin2α/(3+sin2α)
最大值是当sin2α=1，即2α=π/2，即α=π/4
而此时tanβ最大值为1/4
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanβtanα)
=(1+1/4)/(1-1/4)
=5/3
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sinβ=sinαcos(α+β)
2sinβ=2sinαcos(α+β)=sin(α+α+β)+sin[α-(α+β)]=sin(2α+β)-sinβ
3sinβ=sin(2α+β)<=1
sinβ<=1/3
α，β∈（0，π/2）
tanβ max时
sinβ=1/3
cosβ=2√2/3
sin(2α+β)=1
2α...
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sinβ=sinαcos(α+β)
2sinβ=2sinαcos(α+β)=sin(α+α+β)+sin[α-(α+β)]=sin(2α+β)-sinβ
3sinβ=sin(2α+β)<=1
sinβ<=1/3
α，β∈（0，π/2）
tanβ max时
sinβ=1/3
cosβ=2√2/3
sin(2α+β)=1
2α+β=π/2
sin2α=cosβ=2√2/3
tan(α+β)=tan(π/2-α)=cotα
sin2α=(2tanα)/[1+(tanα)^2]
tanα=√2/2或√2(舍，2α<π/2)
tanα=√2/2
tan(α+β)=tan(π/2-α)=cotα=√2
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已知sinβ=sin[(α+β)-α]=-cos(α+β)sinα=
所以sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β),tan(α+β)=2tanα=2tan[(α+β)-β]=2[tan(α+β)-tanβ]/{1+tan(α+β)tanβ},去分母合并后得tanβ=tan(α+β)/[2+tan^2(α+β)],将分子除到分母下，就可用均值定理求，数学符号输入太麻烦了，一定要给...
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已知sinβ=sin[(α+β)-α]=-cos(α+β)sinα=
所以sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β),tan(α+β)=2tanα=2tan[(α+β)-β]=2[tan(α+β)-tanβ]/{1+tan(α+β)tanβ},去分母合并后得tanβ=tan(α+β)/[2+tan^2(α+β)],将分子除到分母下，就可用均值定理求，数学符号输入太麻烦了，一定要给辛苦分哦，做人要厚道！
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就是不给你分，怎么样没哈哈
别人不辛苦吗
sinb=sina*(cosacosb-sinasinb)
sinb=sinacosacosb-sinasinasinb
sinb(1+sinasina)=sinacosacosb
sinb/cosb=sinacosa/(1+sinasina)
tanb=sin(2a)/[3-cos(2a)]
令tanb=k
sin(2a)/[3-cos...
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sinb=sina*(cosacosb-sinasinb)
sinb=sinacosacosb-sinasinasinb
sinb(1+sinasina)=sinacosacosb
sinb/cosb=sinacosa/(1+sinasina)
tanb=sin(2a)/[3-cos(2a)]
令tanb=k
sin(2a)/[3-cos(2a)]=k
sin(2a)=3k-kcos(2a)
[sin(2a)]^2=[3k-kcos(2a)]^2
1-[cos(2a)]^2=9k^2-6k^2cos(2a)+k^2[cos(2a)]^2
(k^2+1)[cos(2a)]^2-6k^2cos(2a)+9k^2-1=0
△=4-32k^2≥0
k^2≤1/8
k^2最大值为1/8，此时cos(2a)=1/3，有解
即k的最大值为√2/4
当tanb取最大值时，tanb=√2/4, cos(2a)=1/3
cos(2a)=2(cosa)^2-1=1/3
cosa=√6/3, sina=√3/3
tana=√2/2
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(√2/2+√2/4)/(1-1/4)=√2
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